infokemendikbud.com Info Kemendikbud Selamat datang para pembaca! Saat kita menjalani kehidupan sehari-hari, seringkali kita dihadapkan pada masalah matematika yang dapat membuat kita bingung dalam menyelesaikannya. Salah satu yang sering dihadapi adalah mencari tahu bagaimana menentukan deret geometri. Deret geometri adalah deret bilangan dimana rasio antar suku-sukunya selalu konstan. Jika kamu bingung dalam menentukan deret geometri, Yuk simak cara menentukannya di bawah ini!
Apa itu Deret Geometri
Deret geometri adalah suatu deret bilangan dimana setiap suku dari deret tersebut memiliki perbandingan yang konstan dengan suku sebelumnya. Misalnya, pada deret ini: 2, 4, 8, 16, … , perbandingan antara setiap suku adalah 2. Dalam matematika, deret ini didefinisikan sebagai deret aritmatika dengan rasio konstan atau bilangan pengali.
Dalam deret geometri ini, suku pertama dilambangkan dengan ‘a’, dan rasio (bilangan pengali) dilambangkan dengan ‘r’. Sehingga, suku k pada deret tersebut dapat dirumuskan sebagai:
a k = a 1 * r (k-1)
Dimana a merupakan suku ke-n dalam deret tersebut, a 1 merupakan suku pertama pada deret, r merupakan rasio atau bilangan pengali, dan k merupakan urutan suku pada deret. Rumus ini dapat digunakan untuk menentukan suku berapa saja pada deret geometri tersebut.
Cara Menentukan Deret Geometri
Untuk menentukan deret geometri, ada beberapa langkah yang harus dilakukan:
Langkah 1: Tentukan Suku Pertama (a 1)
Langkah pertama dalam menentukan deret geometri adalah menentukan suku pertama (a 1). Suku pertama dapat ditemukan jika kita diberikan salah satu atau beberapa suku pada deret tersebut. Misalnya, jika suku ketiga pada deret diberikan, kita dapat menggunakan rumus yang telah disebutkan sebelumnya untuk menentukan suku pertama.
Langkah 2: Tentukan Rasio (r)
Setelah menemukan suku pertama, langkah selanjutnya adalah menentukan rasio (r) pada deret tersebut. Rasio dapat ditemukan dengan membagi salah satu suku berikutnya dengan suku sebelumnya.
Contoh: jika suku ketiga pada deret adalah 8 dan suku keempat adalah 16, maka rasio dapat ditemukan sebagai berikut:
r = a4 / a 3 = 16 / 8 = 2
Langkah 3: Menentukan Suku ke-n
Setelah mengetahui suku pertama dan rasio, langkah selanjutnya adalah menentukan suku ke-n pada deret. Ini dapat dilakukan dengan menggunakan rumus a k = a 1 * r (k-1) seperti yang telah dijelaskan sebelumnya. Dalam rumus ini, k adalah urutan suku pada deret, dimulai dari 1 untuk suku pertama, 2 untuk suku kedua, dan seterusnya.
Contoh : dapat menggunakan rumus tersebut untuk menentukan suku ke-5 dalam deret 2, 4, 8, 16, … sebagai berikut:
a 5 = a 1 * r (5-1)
= 2 * 2 4 = 32
Dalam hal ini, suku kelima dari deret geometri ini adalah 32.
Langkah 4: Memeriksa Konsistensi Rasio
Setelah menentukan suku ke-n pada deret, langkah terakhir adalah memeriksa konsistensi rasio. Ini dilakukan dengan memeriksa apakah rasio antara dua suku yang berbeda konsisten dengan rasio yang telah ditemukan. Jika konsisten, maka hasilnya akan sama atau dekat dengan rasio yang telah ditentukan.
Misalnya, pada contoh sebelumnya, jika kita ingin memeriksa konsistensi rasio antara suku ke-3 dan ke-6, ini dapat dilakukan dengan membagi suku ke-6 dengan suku ke-3:
r = a6 / a 3 = 64 / 8 = 8
Dalam hal ini, ada perbedaan rasio antara suku ke-3 dan ke-6, dengan rasio awal sebesar 2. Ini menunjukkan bahwa deret ini tidak konsisten secara geometri.
Seperti yang telah dijelaskan, menentukan deret geometri tidak terlalu sulit. Dalam beberapa kasus, menentukan rasio pada deret tersebut juga dapat membantu dalam memecahkan masalah matematika yang lebih kompleks. Sebagai contoh, deret geometri dapat digunakan untuk menghitung pengembalian investasi dengan bunga yang dikonversi secara teratur, atau dalam kasus alternatif, menentukan berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk mendapatkan investasi kembali.
Cara Menentukan Rasio dari Deret Geometri
Di dalam matematika, deret geometri adalah suatu urutan bilangan yang memiliki sifat khusus, yaitu dengan mengalikan bilangan sebelumnya dengan suatu bilangan tetap yang disebut rasio. Rasio adalah nilai tetap yang menghubungkan dua bilangan pada deret geometri. Misalnya untuk deret geometri 2, 4, 8, 16, 32, rasio deret ini adalah 2 karena setiap bilangan dihitung dengan cara dihasilkan dengan mengalikan bilangan sebelumnya dengan 2.
Untuk menentukan rasio deret geometri, luangkan waktu untuk memeriksa setiap dua bilangan secara bersebelahan dan membagi bilangan kedua dengan bilangan pertama. Setelah itu, periksa kembali bilangan ketiga dengan bilangan kedua. Jika rasio tetap sama, maka deret disebut sebagai deret geometri. Jika rasio tidak sama, maka ini bukan deret geometri.
Jadi, cara untuk menentukan rasio dari deret geometri adalah:
Contoh:
Diberikan deret geometri 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128. Tentukan rasio dari deret tersebut?
Penyelesaian:
Misalnya kita membagi bilangan kedua dengan bilangan pertama, dan mendapat hasil 2. Kemudian kita membagi bilangan ketiga dengan bilangan kedua, dan hasilnya juga 2. Seperti ini:
4 ÷ 2 = 2
8 ÷ 4 = 2
16 ÷ 8 = 2
32 ÷ 16 = 2
64 ÷ 32 = 2
128 ÷ 64 = 2
Dalam diri deret geometri tersebut, rasio antara bilangan yang bersebalahan adalah 2. Oleh karena itu, rasio deret geometri ini adalah 2.
Jika kita mengalikan rasio dengan bilangan sebelumnya, maka akan diperoleh bilangan yang akan datang pada deret tersebut. Misalnya dari rasio 2 pada deret di atas, 128 dikalikan dengan 2 akan menghasilkan bilangan 256, yang dijadikan bilangan berikutnya di deret geometri tersebut.
Demikianlah cara menentukan rasio dari deret geometri dengan melakukan pembagian setiap dua bilangan dan membandingkan apakah hasilnya sama.
Kegunaan Deret Geometri dalam Kehidupan
Menghitung rasio deret geometri secara akurat dapat membawa manfaat dalam berbagai macam situasi sehari-hari. Ada banyak contoh kegunaan deret geometri dalam kehidupan. Contohnya, deret geometri digunakan dalam matematika keuangan. Dalam aplikasi ini, rasio deret geometri digunakan untuk menentukan suku bunga bulanan atas pinjaman yang dibayar. Begitu juga dalam saham, rasio ini digunakan untuk menghitung pertumbuhan laba atau pendapatan yang diharapkan dari suatu investasi.
Deret geometri juga digunakan di dalam fisika, seperti pada kasus tumbukan elastis. Dalam hal ini, deret geometri digunakan untuk menentukan waktu dan kecepatan bola dalam pergerakan listrik.
Dalam statistik, deret geometri digunakan untuk menentukan pola pergeseran frekuensi suatu kejadian atau peristiwa yang sering terjadi. Dalam hal ini, deret geometri digunakan untuk menentukan probabilitas kejadian atau peristiwa yang terjadi lebih dari sekali, mengingat deret geometri dihasilkan dengan mengalikan bilangan sebelumnya dengan rasio yang sama.
Dalam masalah kehidupan sehari-hari, seperti masalah arsitektur, deret geometri digunakan untuk menghitung rasio proporsi dalam bangunan dan rasio bilangan pada bangunan.
Dari artikel ini, dapat disimpulkan bahwa menentukan rasio dari suatu deret geometri merupakan langkah penting dalam matematika dan dapat diterapkan di berbagai bidang kehidupan.
Cara Menentukan Suku Ke-n dari Deret Geometri
Deret geometri adalah deret bilangan yang setiap suku berbeda dan selalu memiliki rasio. Dalam matematika, rasio adalah perbandingan antara dua bilangan. Cara menentukan suku ke-n dari deret geometri sangat penting untuk dikuasai bagi siswa atau mahasiswa yang mempelajari materi matematika. Berikut adalah langkah-langkah untuk menentukan suku ke-n dari deret geometri:
- Mengetahui suku pertama dan rasio dari deret geometri
- Mencari selisih antara suku ke-n dengan suku pertama
- Memasukkan nilai n ke dalam rumus
Hal pertama yang harus dilakukan adalah mengetahui suku pertama dan rasio dari deret geometri. Suku pertama adalah bilangan yang pertama kali muncul dalam deret geometri, sedangkan rasio adalah hasil bagi dari setiap suku berturut-turut.
Langkah selanjutnya adalah mencari selisih antara suku ke-n dengan suku pertama. Misalnya kita ingin mencari suku ke-5 dari deret geometri dengan suku pertama 2 dan rasio 3. Maka kita bisa menggunakan rumus Suku ke-n = suku pertama x rasio^(n-1), sehingga menjadi:
Suku ke-5 = 2 x 3^(5-1) = 2 x 3^4 = 2 x 81 = 162
Jadi, suku ke-5 dari deret geometri tersebut adalah 162.
Langkah terakhir adalah memasukkan nilai n ke dalam rumus Suku ke-n = suku pertama x rasio^(n-1). Setelah selisih antara suku ke-n dengan suku pertama diketahui, maka kita bisa langsung memasukkannya ke dalam rumus untuk mendapatkan nilai suku ke-n.
Demikianlah cara menentukan suku ke-n dari deret geometri. Dalam penerapannya, terkadang kita diminta untuk mencari suku ke-n dengan menggunakan suku terakhir atau jumlah suku dalam deret geometri. Misalnya saja kita ingin mencari suku ke-7 dari deret geometri dengan jumlah 7 suku dan suku terakhir 512, serta suku pertama 2. Maka, kita bisa menggunakan rumus:
Suku ke-n = (jumlah suku x suku terakhir) / (suku pertama x (rasio^jumlah suku – 1))
Sehingga, suku ke-7 dari deret geometri tersebut adalah:
Suku ke-7 = (7 x 512) / (2 x (rasio^7 – 1))
Selanjutnya, kita bisa menyederhanakan persamaan tersebut dengan mengetahui rasio dari deret geometri tersebut. Jadi, sebagai siswa atau mahasiswa, kita harus selalu memahami konsep deret geometri dan cara menentukan suku ke-n dari deret geometri.
Cara Menentukan Deret Geometri
Deret geometri adalah sebuah deret dengan urutan bilangan yang ditentukan oleh sebuah rasio. Rasio adalah perbandingan antara suku-suku dalam deret yang tetap. Cara menentukan deret geometri adalah dengan menggunakan formula rasio. Formula rasio dalam deret geometri adalah:
an = a1 x rn-1
Di mana:
an = suku ke-n dalam deret geometri
a1 = suku pertama dalam deret geometri
n = urutan suku dalam deret geometri
r = rasio dalam deret geometri
Cara Mencari Suku Pertama dan Rasio Deret Geometri
Untuk menentukan suku pertama dan rasio dalam deret geometri, kita bisa menggunakan dua suku pertama dalam deret. Jika kita mengetahui dua suku pertama dalam deret geometri, kita bisa mencari rasio dengan menggunakan rumus berikut ini:
r = a2 / a1
Sedangkan suku pertama (a1) dapat ditentukan dengan cara:
a1 = a2 / r
Dengan mengetahui suku pertama dan rasio dalam deret geometri, kita bisa mengetahui suku-suku lain dalam deret tersebut.
Cara Mencari Suku ke-N dalam Deret Geometri
Untuk menemukan suku ke-n dalam deret geometri, kita bisa menggunakan rumus berikut ini:
an = a1 x rn-1
Dalam rumus tersebut, a1 adalah suku pertama dalam deret geometri, dan r adalah rasio dalam deret geometri. Sedangkan n adalah urutan suku dalam deret geometri. Dengan menggunakan rumus ini, kita bisa menemukan suku apa saja dalam deret geometri.
Cara Menjumlahkan Deret Geometri
Untuk menjumlahkan sebuah deret geometri, kita bisa menggunakan rumus berikut ini:
Jumlah deret = a1 x (1 – rn) / (1 – r)
Dalam rumus tersebut, a1 adalah suku pertama dalam deret geometri, r adalah rasio dalam deret geometri, dan n adalah jumlah suku yang akan dijumlahkan. Dengan menggunakan rumus ini, kita bisa menemukan jumlah dari sebuah deret geometri.
Contoh:
Jumlahkan deret geometri berikut ini:
2, 4, 8, 16, 32
Solusi:
Kita perlu menentukan suku pertama dan rasio dalam deret. Dari deret di atas, kita tahu bahwa a1 = 2 dan a2 = 4. Kita bisa menentukan rasio dengan cara:
r = a2 / a1 = 4 / 2 = 2
Selanjutnya, kita perlu menentukan suku ke-5 dalam deret. Dengan menggunakan rumus:
an = a1 x rn-1
Kita bisa menentukan suku ke-5 dalam deret:
a5 = 2 x 25-1 = 2 x 24 = 2 x 16 = 32
Dengan mengetahui suku ke-5, kita bisa menentukan jumlah deret dengan menggunakan rumus:
Jumlah deret = a1 x (1 – rn) / (1 – r)
Jumlah deret = 2 x (1 – 25) / (1 – 2) = 2 x (-31) / (-1) = 62
Jadi, jumlah deret geometri di atas adalah 62.
Contoh Soal Deret Geometri
Deret geometri adalah sebuah deret yang membentuk rasio konstan antara suku-suku berturut-turut. Untuk menyelesaikan soal deret geometri, terdapat beberapa hal yang perlu dipahami, antara lain yaitu menentukan rasio, suku ke-n, jumlah n suku, dan jumlah tak hingga. Salah satu contoh soal deret geometri adalah sebagai berikut:
Diketahui deret: 2, 4, 8, 16, 32. Tentukan:
a) Rasio deret geometri tersebut
Rasio deret geometri adalah perbandingan antara suku-suku berurutan yang membentuk deret tersebut. Untuk menentukan rasio deret geometri, kita dapat membagi suku kedua dengan suku pertama, suku ketiga dengan suku kedua dan seterusnya. Dalam deret ini, kita dapat membagi suku kedua (4) dengan suku pertama (2) dan didapatkan rasio 2. Kita dapat membagi suku ketiga (8) dengan suku kedua (4) dan juga didapatkan rasio 2. Begitu pula dengan suku-suku berikutnya, sehingga rasio dari deret ini adalah 2.
b) Suku ke-6 dari deret ini
Untuk menentukan suku ke-n dari sebuah deret geometri, kita dapat menggunakan rumus an = a1 x r^(n-1) dimana an adalah suku ke-n, a1 adalah suku pertama, r adalah rasio, dan n adalah urutan suku yang dicari. Dalam deret ini, suku pertama adalah 2, dan rasio adalah 2. Maka untuk mencari suku ke-6, kita dapat mengganti n dengan 6 pada rumus tersebut, sehingga diperoleh:
a6 = 2 x 2^(6-1) = 2 x 2^5 = 2 x 32 = 64.
Sehingga suku ke-6 dari deret ini adalah 64.
c) Jumlahkan deret ini sampai suku ke-5.
Jumlah tak hingga dari sebuah deret geometri dapat ditentukan dengan menggunakan rumus Sn = a1 (1 – r^n) / (1 – r), dimana Sn adalah jumlah n suku pertama, a1 adalah suku pertama, r adalah rasio, dan n adalah jumlah suku yang dijumlahkan. Namun, untuk mencari jumlah n suku pertama, kita dapat menggunakan rumus Sn = a1 (r^n – 1) / (r – 1).
Dalam deret ini, suku pertama adalah 2, dan rasio adalah 2. Kita ingin menjumlahkan deret hingga suku ke-5, sehingga n = 5. Maka dengan menggunakan rumus Sn = a1 (r^n – 1) / (r – 1), kita dapat mengganti variable dengan angka yang sesuai, sehingga:
S5 = 2 x (2^5 – 1) / (2 – 1) = 2 x 31 / 1 = 62.
Sehingga jumlahkan deret ini sampai suku ke-5 adalah 62.
Dalam menyelesaikan soal deret geometri, ada beberapa rumus yang perlu dikuasai, seperti rumus rasio, rumus suku ke-n, dan rumus jumlah tak hingga. Dengan memahami rumus-rumus tersebut, kita dapat menyelesaikan soal deret geometri dengan mudah.
