infokemendikbud.com Info Kemendikbud
Selamat datang pembaca, kali ini kita akan membahas tentang contoh soal limit barisan dan penyelesaiannya. Pada pembahasan kali ini, kami akan memberikan beberapa contoh soal limit barisan beserta cara penyelesaiannya. Sebagai pengingat, limit barisan adalah batasan dari suatu barisan ketika suku ke-n mendekati tak terhingga. Limit barisan ini juga sering digunakan dalam matematika sebagai dasar untuk mencari nilai limit fungsi. Berikut adalah contoh soal limit barisan dan penyelesaiannya yang bisa mungkin akan membantu kalian dalam memahaminya.
Pendahuluan
Limit barisan adalah topik yang sering dijumpai dalam pelajaran matematika. Hal ini merupakan konsep penting di dalam kalkulus, aljabar, dan statistika. Limit barisan dapat digunakan untuk menduga nilai suatu deret atau nilai tak hingga. Konsep limit barisan dipelajari untuk menentukan pola tertentu dari barisan, khususnya batas atau nilai maksimum dan minimum dari barisan tersebut. Dalam artikel ini, kita akan membahas lebih lanjut tentang contoh soal limit barisan dan cara menyelesaikannya.
Konsep Dasar Limit Barisan
Sebelum membahas contoh soal limit barisan, mari kita pelajari dahulu konsep dasarnya. Limit barisan merupakan nilai yang diperoleh saat suatu barisan mendekati nilai tertentu. Secara formal, kita dapat menyatakan hal ini sebagai berikut:
Definisi Limit Barisan: Misalkan ada suatu barisan {an} dan L adalah nilai suatu konstanta. Maka kita dapat mengatakan bahwa batas barisan {an} adalah L jika:
a. Untuk setiap ε > 0, ada sebuah bilangan bulat N sedemikian sehingga jika n > N, maka |an – L| < ε.
b. L adalah nilai yang unik dan stabil dari {an} dan dilambangkan sebagai liman → ∞ {an} = L.
Contoh Soal Limit Barisan
Sekarang, mari kita hadapi beberapa contoh soal limit barisan dan pelajari cara menyelesaikannya:
Contoh Soal 1: Tentukan nilai batas barisan {an} = (2n + 3) / (n + 4) saat n mendekati tak terhingga.
Penyelesaian: Kita dapat menyelesaikan dengan cara membentuk limit sebagai berikut:
limn→∞ (2n + 3) / (n + 4) = limn→∞ 2 + (1 / ((n+4) / n)))
limn→∞ 2 = 2
Jadi, batas barisan tersebut adalah 2.
Contoh Soal 2: Tentukan nilai limit dari barisan {an} = ((n^2) + 3n + 2) / ((2n^2) + 1).
Penyelesaian: Untuk menyelesaikan soal ini, kita dapat membagi semua suku dengan n^2 dan menentukannya menggunakan aturan limit:
limn→∞ ((n^2) + 3n + 2) / ((2n^2) + 1) = limn→∞ ((n^2) / n^2 + (3n / n^2) + (2 / n^2)) / ((2n^2) / n^2 + 1 / n^2)
limn→∞ (1 + (3/n) + (2/n^2)) / (2 + (1/n^2))
limn→∞ 1/2 = 1/2
Jadi, batas barisan tersebut adalah 1/2.
Contoh Soal 3: Tentukan nilai batas barisan {an} = (((n + 1)/n)^2) saat n mendekati tak terhingga.
Penyelesaian: Kita dapat menyelesaikan dengan cara membagi suku atas dan bawah sehingga diperoleh limit sebagai berikut:
limn→∞ (((n + 1)/n)^2) = limn→∞ (1 + (1/n))^2
limn→∞ (1 + (2/n) + (1/n^2)) = 1
Jadi, batas barisan tersebut adalah 1.
Kesimpulan
Limit barisan dapat digunakan untuk menduga nilai suatu deret atau nilai tak hingga. Metode ini merupakan konsep penting dalam kalkulus, aljabar, dan statistika. Dalam artikel ini, kita telah membahas contoh soal limit barisan dan cara menyelesaikannya. Pentingnya memahami konsep dan penggunaan metode ini untuk memudahkan kita dalam menyelesaikan berbagai masalah matematika dan memberi perspektif yang lebih jelas tentang bagaimana matematika memperkaya kehidupan kita sebagai manusia.
Pengertian Limit Barisan
Limit barisan merupakan salah satu konsep dasar dalam matematika. Limit barisan dapat diartikan sebagai batas nilai yang didekati oleh suatu barisan bilangan. Dalam konteks matematika, barisan adalah kumpulan bilangan yang disusun secara beraturan sesuai dengan aturan yang ditentukan. Sedangkan limit barisan merupakan nilai yang dapat dihasilkan dari barisan tersebut ketika suku-sukunya mendekati batas tak hingga atau tak berhingga.
Untuk menghitung limit barisan, diperlukan pemahaman yang baik mengenai konsep barisan. Pada dasarnya, barisan terdiri atas sekumpulan bilangan yang diurutkan menurut aturan tertentu. Setiap bilangan tersebut biasanya disebut sebagai suku. Perbedaan antara setiap suku dalam barisan adalah tetap. Selain itu, barisan juga dapat memiliki batasan tertentu yang dalam matematika sering disebut sebagai limit barisan.
Secara sederhana, limit barisan dapat dihitung dengan mencari nilai suku terkecil dan terbesar di dalam barisan. Setelah itu, kita dapat mengambil nilai tengah dari kedua suku tersebut sebagai nilai limit barisan. Namun, dalam matematika lebih banyak digunakan metode perhitungan limit barisan dengan menggunakan notasi epsilon-delta.
Cara Menghitung Limit Barisan
Untuk menghitung limit barisan, diperlukan pemahaman yang baik mengenai konsep barisan. Salah satu cara untuk menghitung limit barisan adalah dengan menggunakan metode notasi epsilon-delta. Metode ini merupakan metode yang paling umum digunakan dalam matematika untuk menghitung limit barisan.
Notasi epsilon-delta digunakan untuk membuktikan bahwa suatu barisan memiliki limit. Untuk menggunakan metode ini, kita harus menentukan nilai epsilon di mana kita ingin mendekati batas limit. Setelah itu, kita harus menentukan nilai delta yang dapat dijadikan sebagai batas toleransi kesalahan dalam perhitungan limit. Jika kita dapat menentukan nilai delta yang memenuhi batasan toleransi kesalahan, maka kita dapat membuktikan bahwa barisan tersebut memiliki limit tertentu.
Selain itu, kita juga dapat menggunakan metode limit konvergen untuk menghitung limit barisan. Metode ini digunakan dengan mencari nilai batas pada barisan yang terus berlanjut. Dalam metode ini, kita menghitung jumlah suku barisan dari awal hingga lima nilai terakhir. Jika nilai tersebut memiliki perbedaan yang sangat kecil, maka kita dapat menyimpulkan bahwa barisan tersebut memiliki limit tertentu.
Contoh Soal Limit Barisan dan Penyelesaiannya
Berikut ini adalah beberapa contoh soal limit barisan beserta penyelesaian.
Contoh Soal 1
Hitunglah limit dari barisan berikut:
a_n = 2^n/n!
Penyelesaian:
Dalam menyelesaikan contoh soal ini, kita dapat menggunakan metode notasi epsilon-delta. Kita ingin menghitung limit barisan ketika epsilon sama dengan 0.001. Dalam hal ini, kita dapat menentukan delta sebesar 8 untuk memenuhi batasan toleransi kesalahan. Setelah itu, kita dapat menghitung nilai limit dari barisan tersebut dengan menggunakan rumus sebagai berikut:
lim a_n = lim (2/1) x (2/2) x (2/3) x … x (2/n)
lim a_n = 2 x (2/3) x (2/4) x … x (2/n)
lim a_n < 2 x (1/3) x (2/4) x … x (n-1/n)
lim a_n < 2 x (1/3) x (1/2) x … x ((n-2)/(n-1)) x (2/n)
lim a_n < 2 x (1/3) x (1/2) x … x ((n-2)/(n-1)) x 8
lim a_n < 2 x (1/3) x (1/2) x … x ((n-2)/(n-1)) x 0.001
Dari hasil perhitungan di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa limit dari barisan tersebut adalah 0.
Contoh Soal 2
Hitunglah limit dari barisan berikut:
a_n = n^2/(n+1)^2
Penyelesaian:
Dalam menyelesaikan contoh soal ini, kita dapat menggunakan metode limit konvergen. Dalam hal ini, kita harus mencari nilai batas pada barisan yang terus berlanjut. Dari barisan tersebut, kita dapat menghitung jumlah suku lima nilai terakhir sebagai berikut:
a_1 = 1/4, a_2 = 4/9, a_3 = 9/16, a_4 = 16/25, a_5 = 25/36
Sehingga, kita dapat menghitung perbedaan nilai antara a_5 dan a_1 sebagai berikut:
a_5 – a_1 = 25/36 – 1/4 = 31/144
Dari hasil perhitungan di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa perbedaan nilai antara lima suku terakhir dari barisan tersebut sangat kecil, sehingga kita dapat menyimpulkan bahwa barisan tersebut memiliki limit tertentu. Selanjutnya, kita dapat menghitung nilai limit dari barisan tersebut dengan menggunakan rumus sebagai berikut:
lim a_n = 1
Dari hasil perhitungan di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa limit dari barisan tersebut adalah 1.
Contoh Soal 3
Tentukan apakah barisan berikut memiliki limit atau tidak:
a_n = n/2^n
Penyelesaian:
Untuk menentukan apakah suatu barisan memiliki limit atau tidak, kita harus menggunakan metode notasi epsilon-delta. Dalam hal ini, kita ingin mencari nilai limit ketika epsilon sama dengan 0.001. Setelah itu, kita dapat mencari nilai delta yang dapat dijadikan sebagai batas toleransi kesalahan dalam perhitungan limit. Namun, dalam contoh soal ini tidak ditemukan nilai delta yang dapat memenuhi batasan toleransi kesalahan. Sehingga, kita dapat menyimpulkan bahwa barisan tersebut tidak memiliki limit.
Dari contoh soal di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa pentingnya memahami konsep limit barisan dalam matematika. Dengan memahami konsep ini, kita dapat menghitung limit barisan dengan tepat dan efektif. Selain itu, kita juga dapat menggunakan metode notasi epsilon-delta dan limit konvergen untuk menyelesaikan perhitungan limit barisan. Dengan pemahaman yang baik mengenai konsep limit barisan, kita dapat meningkatkan kemampuan dalam memecahkan masalah matematika secara efektif.
Cara Menyelesaikan Soal Limit Barisan
Untuk menyelesaikan soal limit barisan, pertama-tama kita perlu memahami terlebih dahulu apa itu barisan dan limit. Barisan adalah kumpulan bilangan-bilangan yang diurutkan dalam sebuah pola tertentu. Sedangkan limit adalah batas nilai yang didekati oleh suatu bilangan ketika nilai tersebut mendekati suatu titik tertentu.
Maka, limit barisan adalah nilai batasan dari barisan ketika suku-sukunya mendekati nilai tertentu. Dalam matematika, limit barisan sering digunakan dalam berbagai bidang seperti kalkulus, probabilitas, dan lainnya.
Contoh Soal Limit Barisan
Berikut ini adalah contoh soal limit barisan:
Dari contoh soal di atas, terdapat barisan un dan barisan vn yang masing-masing terdiri dari 3 suku:
Barisan un: 1, 2, 4
Barisan vn: 1/2, 2/4, 4/8
Kemudian, kita diminta untuk mencari lim un dan lim vn ketika n menuju tak hingga. Dalam hal ini, kita dapat menggunakan beberapa teknik yang dapat membantu kita menyelesaikan soal limit barisan.
Metode Penyelesaian Soal Limit Barisan
Berikut ini adalah beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan soal limit barisan:
1. Teknik Pembuktian Barisan Terbatas
Langkah pertama yang dapat dilakukan adalah dengan menggunakan teknik pembuktian barisan terbatas. Teknik ini sering digunakan untuk membuktikan batasan suatu barisan ketika suku-sukunya mendekati nilai tertentu.
Cara penggunaannya adalah dengan menemukan dua barisan (biasanya upper bound dan lower bound) yang masing-masing lebih besar dan lebih kecil dari barisan asli. Jika kedua barisan tersebut mampu menghimpit (enclose) barisan asli, maka limit barisan asli akan sama dengan limit kedua barisan tersebut.
Contohnya, untuk mencari limit barisan un, kita dapat menemukan dua barisan sebagai berikut:
Barisan upper bound: 2n
Barisan lower bound: n
Cara mencari dua barisan tersebut adalah dengan mencari pola pada barisan un dan memperbesar nilai suku-sukunya. Dalam hal ini, dapat diketahui bahwa untuk barisan un, suku ke-n adalah 2^(n-1).
Dari sini, kita dapat menulis:
untuk barisan upper bound:
2n > 2^(n-1)
2n > 2^n / 2
n > 2^(n-1) / 2
untuk barisan lower bound:
n < 2^(n-1)
Jika kita mengambil limit dua barisan tersebut ketika n menuju tak hingga, maka limitnya akan sama dengan:
Limit upper bound = limit [(2n) / (2^(n-1))] = 1
Limit lower bound = limit [(n) / (2^(n-1))] = 0
Karena limit upper bound dan limit lower bound tidak sama, maka kita perlu mencari teknik lain untuk menyelesaikan soal limit barisan.
2. Teknik Penyederhanaan Barisan
Teknik kedua yang dapat digunakan adalah dengan menggunakan teknik penyederhanaan barisan. Teknik ini biasanya digunakan jika barisan yang diberikan memiliki rumus yang kompleks dan sulit untuk dipecahkan.
Cara penggunaannya adalah dengan mencari suatu barisan yang suku-sukunya hanya berupa konstanta atau barisan yang dapat disederhanakan ke bentuk yang lebih sederhana. Setelah itu, kita dapat menggunakan teknik pembuktian barisan terbatas untuk menemukan lim barisan yang lebih kompleks.
Contohnya, untuk mencari limit barisan vn, kita dapat menyederhanakan barisan tersebut ke bentuk yang lebih sederhana. Caranya adalah dengan mencari pola pada barisan vn dan mengubahnya ke bentuk pecahan biasa.
Dalam hal ini, dapat diketahui bahwa suku ke-n pada barisan vn adalah 2^n. Kemudian, kita dapat mengubahnya menjadi bentuk pecahan sederhana dengan cara:
2^n = (2^n / 2^n-1) / (2^n-1 / 2^n-2)
Dari sini, kita dapat menulis rumus untuk barisan vn sebagai berikut:
vn = (2 / 1) / (4 / 2) / (8 / 4) / … / (2^n / 2^n-1)
Dalam bentuk pecahan tersebut, kita dapat dengan mudah menggunakan teknik pembuktian barisan terbatas untuk menemukan limit barisan vn. Dari sini, kita dapat menemukan bahwa:
Limit vn = 0
3. Teknik Menggunakan Sifat-sifat Limit Barisan
Teknik ketiga dan terakhir yang dapat digunakan adalah dengan menggunakan sifat-sifat limit barisan. Sifat-sifat tersebut dapat digunakan untuk menyelesaikan soal limit barisan dengan rumus yang lebih sederhana.
Contohnya, salah satu sifat limit barisan adalah “jika barisan konstan, maka limitnya sama dengan konstan tersebut”. Dalam hal ini, kita dapat menemukan bahwa limit barisan un adalah 4 karena suku-suku pada barisan un adalah konstan.
Selain itu, terdapat sifat limit barisan lainnya seperti “jika barisan bernilai positif dan monoton menurun hingga mendekati 0, maka limitnya adalah 0”. Sifat-sifat limit barisan tersebut dapat digunakan untuk menyelesaikan soal limit barisan dengan mudah.
Kesimpulan
Jadi, ada beberapa teknik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan soal limit barisan seperti teknik pembuktian barisan terbatas, teknik penyederhanaan barisan, dan teknik menggunakan sifat-sifat limit barisan. Dalam pemilihan teknik, kita perlu memilih teknik yang paling mudah diterapkan dan dapat memberikan solusi yang tepat. Dengan memahami teknik-teknik tersebut, kita dapat menyelesaikan soal limit barisan dengan lebih mudah dan cepat.
Contoh Soal Limit Barisan dan Penyelesaiannya
Limit barisan adalah nilai batas yang didekati oleh suatu suku barisan saat nilai suku tersebut mendekati tak berhingga. Untuk menghitung limit barisan, kita perlu mengetahui rumus dan cara penggunaannya. Berikut ini adalah beberapa contoh soal limit barisan dan cara penyelesaiannya.
1. Soal Limit Barisan
Diketahui barisan {an} dengan rumus an = n^2 + 7n. Tentukan nilai limit dari {an} saat n mendekati tak berhingga.
Penyelesaian
Kita dapat menggunakan rumus limit barisan untuk menyelesaikan soal tersebut. Rumus limit barisan adalah sebagai berikut:
lim(n→∞) an = lim(n→∞) (an+1 − an)
Kita tentukan nilai an+1 dan an terlebih dahulu:
an+1 = (n+1)^2 + 7(n+1) = n^2 + 9n + 8
An = n^2 + 7n
Substitusi kedua nilai tersebut ke dalam rumus limit barisan:
lim(n→∞) (n^2 + 9n + 8 − n^2 − 7n) = lim(n→∞) (2n + 8)
Dalam kasus ini, kita dapat menarik faktor n dari kedua suku pada sebelah kanan:
2 * lim(n→∞) (n + 4) = ∞
Kita mendapatkan hasil ∞. Oleh karena itu, nilai limit dari {an} saat n mendekati tak berhingga adalah tak terbatas (disebut divergen).
2. Soal Limit Barisan
Diketahui barisan {bn} dengan rumus bn = (−1)^n × n / (n+1). Tentukan nilai limit dari {bn} saat n mendekati tak berhingga.
Penyelesaian
Kita dapat menggunakan rumus limit barisan untuk menyelesaikan soal tersebut. Rumus limit barisan adalah sebagai berikut:
lim(n→∞) an = lim(n→∞) (an+1 − an)
Kita tentukan nilai an+1 dan an terlebih dahulu:
an+1 = (−1)^(n+1) × (n+1) / ((n+1)+1) = (−1)^(n+1) × (n+1) / (n+2)
An = (−1)^n × n / (n+1)
Substitusi kedua nilai tersebut ke dalam rumus limit barisan:
lim(n→∞) [(−1)^(n+1) × (n+1) / (n+2) – (−1)^n × n / (n+1)]
Dalam kasus ini, kita dapat menarik faktor n dari kedua suku pada sebelah kanan:
lim(n→∞) [n / (n+2) + (1 / (n+2))] = 1
Kita mendapatkan hasil 1. Oleh karena itu, nilai limit dari {an} saat n mendekati tak berhingga adalah 1.
3. Soal Limit Barisan
Diketahui barisan {cn} dengan rumus cn = (5^n + 3^n)^(1/n). Tentukan nilai limit dari {cn} saat n mendekati tak berhingga.
Penyelesaian
Kita dapat menggunakan rumus limit barisan untuk menyelesaikan soal tersebut. Rumus limit barisan adalah sebagai berikut:
lim(n→∞) an = lim(n→∞) (an+1 − an)
Kita tentukan nilai an+1 dan an terlebih dahulu:
an+1 = (5^(n+1) + 3^(n+1))^(1/(n+1))
An = (5^n + 3^n)^(1/n)
Substitusi kedua nilai tersebut ke dalam rumus limit barisan:
lim(n→∞) [(5^(n+1) + 3^(n+1))^(1/(n+1)) – (5^n + 3^n)^(1/n)]
Selanjutnya, kita tarik faktor tertinggi dari kedua suku pada sebelah kanan:
lim(n→∞) [((5^(n+1))^(1/(n+1))) × (1+(3/5)^n+1) – (5^n + 3^n)^(1/n)]
lim(n→∞) [(5^1/(n+1)) × (1+(3/5)^n+1) – (5^n(1+(3/5)^n)^(-1/n))] = 5
Kita mendapatkan hasil 5. Oleh karena itu, nilai limit dari {an} saat n mendekati tak berhingga adalah 5.
4. Soal Limit Barisan
Diketahui barisan {dn} dengan rumus dn = n × sin(1/n). Tentukan nilai limit dari {dn} saat n mendekati tak berhingga.
Penyelesaian
Kita dapat menggunakan rumus limit barisan untuk menyelesaikan soal tersebut. Rumus limit barisan adalah sebagai berikut:
lim(n→∞) an = lim(n→∞) (an+1 − an)
Kita tentukan nilai an+1 dan an terlebih dahulu:
an+1 = (n+1) × sin(1/(n+1))
An = n × sin(1/n)
Substitusi kedua nilai tersebut ke dalam rumus limit barisan:
lim(n→∞) [(n+1) × sin(1/(n+1)) – n × sin(1/n)]
Kita dapat menggunakan rumus trigonometri berikut:
sin x ≈ x, jika x mendekati nol (dalam radian)
Substitusikan rumus tersebut ke dalam rumus limit barisan:
lim(n→∞) [(n+1) × 1/(n+1) – n × 1/n] = lim(n→∞) [(n+1)/(n+1) – 1]
lim(n→∞) [1 – 1] = 0
Kita mendapatkan hasil 0. Oleh karena itu, nilai limit dari {an} saat n mendekati tak berhingga adalah 0.
Dengan mengikuti beberapa contoh soal limit barisan di atas, diharapkan Anda dapat lebih memahami konsep limit barisan dan metode perhitungananya dengan baik. Teruslah berlatih dan mencoba soal-soal lain untuk meningkatkan kemampuan matematika Anda.
Pengertian Limit Barisan
Limit barisan merupakan suatu materi di dalam matematika yang berkaitan dengan batas atau limit dari barisan bilangan. Barisan bilangan adalah deret angka yang dipisahkan dengan tanda koma. Pada limit barisan, kita mencari nilai limit atau batas pada deret bilangan yang sangat banyak jumlahnya.
Untuk mencari limit barisan, kita perlu memahami konsep dasar matematika seperti deret tak hingga dan sifat dari barisan bilangan. Selanjutnya, kita dapat menggunakan rumus-rumus matematika dan metode penyelesaian yang tepat untuk menyelesaikan soal limit barisan dengan mudah.
Cara Menyelesaikan Soal Limit Barisan
Untuk menyelesaikan soal limit barisan, ada beberapa cara yang dapat digunakan. Beberapa di antaranya adalah:
1. Metode Sederhana
Metode sederhana dapat digunakan untuk menyelesaikan soal limit barisan yang sederhana. Caranya adalah dengan mencari pola dari barisan bilangan itu sendiri. Setelah didapatkan pola dari barisan, kita dapat mencari batas atau limit dari barisan bilangan tersebut dengan mudah.
2. Substitusi
Substitusi adalah metode yang digunakan untuk menyelesaikan soal limit barisan dengan menggunakan persamaan matematika. Caranya adalah dengan mengganti nilai n dalam persamaan menjadi nilai yang ditentukan, kemudian mencari limit dari hasil substitusi nilai tersebut.
3. Rule of L’Hospital
Rule of L’Hospital adalah metode yang digunakan untuk menyelesaikan soal limit barisan yang memiliki pembagian dua fungsi yang tak tentu pada nilai nol atau tak hingga. Caranya adalah dengan mencari turunan dari masing-masing fungsi, kemudian membagi turunan pertama dan kedua untuk mencari nilai limit dari barisan tersebut.
4. Metode Integral
Metode integral digunakan untuk menyelesaikan soal limit barisan dengan menggunakan teknik integrasi dalam matematika. Caranya adalah dengan mengintegralkan persamaan dari barisan tersebut, kemudian mencari batas atau limit dari hasil integrasi tersebut.
5. Metode Logaritma
Metode logaritma dapat digunakan untuk menyelesaikan soal limit barisan yang memiliki bentuk eksponensial. Caranya adalah dengan mengubah persamaan dari bentuk eksponensial menjadi bentuk logaritma, kemudian mencari limit dari barisan bilangan tersebut.
Contoh Soal Limit Barisan dan Penyelesaiannya
Berikut adalah beberapa contoh soal limit barisan dan cara menyelesaikannya:
Contoh Soal 1:
Tentukan nilai limit dari barisan bilangan berikut:
2, 4, 6, 8, 10, 12, …
Penyelesaian:
Karena pola dari barisan ini adalah bilangan genap, maka kita dapat menggunakan rumus limit untuk barisan bilangan genap. Rumus tersebut adalah:
lim(an) = lim(a1)+(n-1)d
dalam hal ini a1=2 dan d=2, maka:
lim(an) = lim(a1)+(n-1)d
lim(an) = 2+(n-1)2
lim(an) = 2+2n-2
lim(an) = 2n
Sehingga nilai limit dari barisan bilangan tersebut adalah 2n, atau dengan kata lain, barisan bilangan tersebut tidak mempunyai limit atau tidak terhingga.
Contoh Soal 2:
Tentukan limit dari barisan bilangan berikut:
1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, …
Penyelesaian:
Karena barisan ini memiliki pola hasil bagi dari bilangan tersebut dengan bilangan 2 yang dikuadratkan, maka kita dapat menggunakan rumus limit untuk barisan yang termasuk dalam deret geometri. Rumus tersebut adalah:
lim(an) = a/r-1
dalam hal ini a=1/2 dan r=1/2, maka:
lim(an) = a/r-1
lim(an) = (1/2)/(1/2-1)
lim(an) = (1/2)/(-1/2)
lim(an) = -1
Sehingga nilai limit dari barisan bilangan tersebut adalah -1
Contoh Soal 3:
Tentukan limit dari barisan bilangan berikut:
5, -10, 15, -20, 25, …
Penyelesaian:
Karena dari barisan ini tidak memiliki pola yang jelas, maka kita harus mencari apakah barisan ini memiliki limit atau tidak. Setelah mencoba mencari limit dari barisan ini, ternyata barisan ini tidak memiliki limit atau terhingga.
Sehingga nilai limit dari barisan bilangan tersebut adalah tidak terhingga.
Kesimpulan
Dari pembahasan di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa limit barisan merupakan salah satu materi yang penting dalam matematika. Untuk menyelesaikan soal limit barisan, kita perlu memahami konsep dasar matematika dan metode-metode yang tepat.
Beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan soal limit barisan adalah metode sederhana, substitusi, rule of L’Hospital, metode integral, dan metode logaritma. Dalam menyelesaikan soal limit barisan, kita harus mencari pola dari barisan bilangan tersebut terlebih dahulu untuk kemudian menggunakan rumus-rumus matematika yang sesuai.
Untuk meningkatkan pemahaman mengenai limit barisan, kita harus meningkatkan kemampuan kita dalam memahami konsep matematika secara luas dan mendalam. Dengan begitu, kita dapat dengan mudah menyelesaikan berbagai macam soal matematika yang berkaitan dengan limit barisan.
