infokemendikbud.com Info Kemendikbud Selamat datang pembaca, kali ini kita akan membahas tentang Contoh Soal Permutasi untuk Pendidikan. Permutasi merupakan salah satu bagian dari matematika yang banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Permutasi sering digunakan untuk menghitung banyaknya cara untuk melakukan suatu perubahan atau pengurutan sebuah objek. Baiklah, kita simak contoh soal permutasi untuk pendidikan berikut ini!
Pengertian Permutasi
Permutasi adalah salah satu konsep dasar dalam matematika yang seringkali dihadapi ketika kita belajar tentang kombinatorika. Permutasi sendiri merupakan istilah yang berasal dari bahasa Prancis yaitu permutation yang artinya adalah perubahan atau pengubahan urutan.
Berdasarkan pengertian itu, dapat kita katakan bahwa permutasi adalah pengamatan cara pengaturan objek-objek yang berbeda di dalam suatu himpunan. Dalam permutasi, kita dapat menentukan berapa banyak susunan yang mungkin dari suatu jumlah objek tertentu. Contoh paling sederhana dari permutasi adalah aturan untuk menempatkan dua sisi koin, yaitu kepala dan ekor, di tangan kita dengan berbagai cara.
Dalam matematika, permutasi dilambangkan dengan huruf P, dengan angka yang menunjukkan banyaknya objek yang diatur. Sebagai contoh, P4 berarti suatu permutasi dari empat objek.
Macam-macam Permutasi
Ada beberapa macam permutasi, di antaranya adalah :
1. Permutasi Sederhana
Permutasi sederhana adalah salah satu yang sering kita hadapi dalam kombinatorika. Hal ini dilakukan hanya pada himpunan permutasi objek yang berbeda tanpa mengikat objek mana yang harus diatur di antara mereka. Artinya, dalam permutasi sederhana, kita bisa mengatur objek-objek tersebut sesuai dengan urutan kesukaan kita tanpa memperdulikan urutan yang sebenarnya.
2. Permutasi Siklus
Permutasi siklus adalah sebuah permutasi dalam kelompok dimana beberapa anggota objek disusun dalam beberapa lingkaran. Misalnya, terdapat susunan angka 1,2,3,4,5,6 yang disusun ke dalam sebuah siklus (2 3 6 4 5 1). Siklus tersebut akan menghasilkan susunan baru, yakni 2,3,6,4,5,1.
3. Permutasi berulang-ulang
Permutasi yang satu ini melakukan pengulangan dari satu objek. Permutasi berulang-ulang dinyatakan dengan huruf R, dengan angka yang menunjukan banyaknya elemen yang berbeda dan berulang yang diberikan sebagai informasi pada salinan.
Rumus Permutasi
Rumus permutasi digunakan untuk mengitung banyaknya susunan atau pengaturan dari objek-objek yang saling berbeda dalam suatu kelompok. Rumus permutasi dengan pengembangan atau tanpa pengembangan dapat ditulis sebagai berikut :
1. Permutasi tanpa pengembangan
Jika terdapat himpunan objek, maka banyaknya susunan banyaknya susunan yang mungkin terbentuk adalah P(n) = n!. Dimana n sudah diketahui banyaknya objek yang terdapat dalam kelompok tersebut.
2. Permutasi dengan pengembangan
Jika terdapat tiga himpunan A, B, dan C yang menyusun suatu kelompok, maka banyaknya susunan banyaknya susunan yang mungkin terbentuk adalah P(n1,n2,n3) = n1!.n2!.n3!, dimana n1, n2, dan n3 sudah diketahui banyaknya objek yang terdapat dalam setiap kelompok.
Dalam permutasi, susunan dari objek dapat diatur sesuai dengan aturan yang ditentukan. Contohnya ketika kita ingin mengatur objek pada susunan 1,2,3. Maka kemungkinan pengaturannya adalah 1,2,3; 1,3,2; 2,1,3; 2,3,1; 3,1,2; 3,2,1.
Kesimpulan
Permutasi merupakan suatu konsep dasar dalam matematika yang sering digunakan dalam kombinatorika. Dalam permutasi, kita dapat menentukan berapa banyak susunan yang mungkin dari suatu jumlah objek tertentu. Ada beberapa macam permutasi, yaitu permutasi sederhana, permutasi siklus, dan permutasi berulang-ulang. Selain itu, terdapat juga rumus permutasi tanpa pengembangan dan dengan pengembangan yang berguna untuk menghitung banyaknya susunan atau pengaturan dari objek-objek yang berbeda dalam suatu kelompok.
Fungsi Permutasi
Permutasi adalah salah satu konsep matematika yang digunakan dalam penghitungan tata letak objek dalam suatu himpunan. Contohnya, jika Anda memiliki 5 buah bola dan ingin mengetahui berapa banyak cara Anda dapat mengatur bola-bola tersebut dalam urutan yang berbeda, maka konsep permutasi dapat membantu Anda menghitungnya.
Pada dasarnya, permutasi digunakan untuk menghitung banyaknya pengaturan objek dalam suatu himpunan. Hal ini dapat diterapkan dalam berbagai situasi, seperti pada sistem penghitungan suara dalam Pemilihan Umum, perjudian, dan banyak lagi.
Fungsi permutasi adalah salah satu cara untuk menghitung banyaknya permutasi dari suatu himpunan. Fungsi ini dinyatakan dengan notasi P(n, r), yang menggambarkan banyaknya permutasi dari n objek yang diambil r buah objek. Pada fungsi permutasi, urutan objek sangat diperhitungkan sehingga permutasi dengan urutan yang berbeda dianggap sebagai hal yang berbeda pula.
Contohnya, jika Anda memiliki 4 buah bola, maka ada 24 permutasi yang dapat dibuat dari 4 buah bola tersebut. Hal ini dapat dihitung dengan menggunakan rumus P(4,4) = 4! = 24, dimana faktorial 4! dinyatakan dengan 4 x 3 x 2 x 1. Dengan demikian, 4 buah bola dapat diatur ke dalam 24 urutan yang berbeda.
Selain itu, fungsi permutasi juga dapat digunakan untuk menghitung permutasi dengan pengambilan objek yang kurang dari seluruh himpunan objek. Contohnya, jika Anda memiliki 5 buah bola dan ingin mengetahui berapa banyak cara Anda dapat mengambil 3 buah bola yang diatur dalam urutan yang berbeda, maka Anda dapat menggunakan rumus P(5, 3) = 5 x 4 x 3 = 60. Dengan demikian, Anda dapat membuat 60 permutasi dari 3 buah bola yang diambil dari 5 buah bola yang tersedia.
Namun, dalam beberapa kasus, permutasi juga dapat dihitung dengan menggunakan kombinasi. Kombinasi menghitung pengambilan objek tanpa memperhitungkan urutan objek tersebut. Hal ini dapat diterapkan pada situasi-situasi seperti seleksi casting, penghitungan kemungkinan dalam perjudian, dan lain sebagainya.
Dalam penghitungan kombinasi, rumus yang digunakan adalah C(n, r), yang menggambarkan banyaknya kombinasi dari n buah objek yang diambil r buah objek. Rumus ini dinyatakan dengan notasi faktorial, yaitu C(n, r) = n! / (r! (n-r)!).
Misalnya, jika Anda memiliki 5 buah bola dan ingin mengetahui berapa banyak cara Anda dapat mengambil 3 buah bola tanpa memperhitungkan urutan bola tersebut, maka Anda dapat menggunakan rumus C(5, 3) = 5! / (3! (5-3)!) = 10. Dengan demikian, Anda dapat membuat 10 kombinasi dari 3 buah bola yang diambil dari 5 buah bola yang tersedia.
Dalam kesimpulannya, permutasi dan kombinasi adalah konsep matematika yang sering digunakan dalam berbagai situasi, terutama dalam penghitungan pengaturan objek dalam suatu himpunan. Fungsi permutasi dan kombinasi dapat membantu Anda menghitung banyaknya permutasi atau kombinasi dari suatu himpunan objek dengan mudah. Keduanya memberikan solusi yang berbeda dalam menghitung banyaknya permutasi sebuah himpunan objek sesuai dengan pengaturan dan pengambilan objek.
Perbedaan Permutasi dengan Kombinasi
Permutasi dan kombinasi merupakan metode yang digunakan dalam matematika dan banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Permutasi dan kombinasi muncul ketika terdapat beberapa objek yang dapat diurutkan atau dikombinasikan. Meskipun mirip, permutasi dan kombinasi memiliki perbedaan yang mendasar, yaitu dalam hal pengaturan.
Permutasi adalah urutan unik dari objek-objek tersebut. Dalam permutasi, posisi setiap objek sangat penting dan harus dipertimbangkan. Sebagai contoh, pada permutasi tiga huruf A, B, dan C, kita dapat mendapatkan enam kemungkinan permutasi berbeda: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, dan CBA. Permutasi sangat berguna ketika kita ingin mengetahui berapa banyak kemungkinan urutan yang berbeda untuk suatu permasalahan.
Sedangkan kombinasi adalah pemilihan objek-objek tersebut tanpa memperhatikan urutan atau pengaturan. Sebagai contoh, jika kita ingin memilih dua dari tiga huruf A, B, dan C, kita dapat memilih dua kombinasi berbeda: AB dan AC. Kombinasi digunakan ketika kita ingin mengetahui berapa banyak cara yang berbeda untuk memilih objek-objek dari suatu kelompok tanpa harus memperhatikan urutannya.
Perbedaan mendasar antara permutasi dan kombinasi adalah pengaturannya. Dalam permutasi, pengaturan menjadi sangat penting dan harus dipertimbangkan, sedangkan dalam kombinasi, urutan tidak perlu dipertimbangkan. Keduanya memang terlihat mirip, namun kita harus memperhatikan konteksnya agar tidak salah dalam penggunaannya.
Seringkali, permutasi dan kombinasi digunakan dalam berbagai aplikasi. Beberapa contoh penerapannya adalah dalam keuangan, dalam olahraga, dalam industri musik, dan dalam masalah kehidupan sehari-hari. Dalam keuangan, permutasi dapat digunakan untuk menghitung berapa banyak cara yang memungkinkan untuk mendapatkan keuntungan dengan aset yang berbeda-beda. Sementara itu, kombinasi dapat digunakan untuk menghitung kemungkinan kerugian dalam suatu portofolio investasi.
Dalam olahraga, permutasi dapat digunakan untuk menghitung kemungkinan urutan medali pada pertandingan, sedangkan kombinasi dapat digunakan untuk menghitung berapa banyak cara yang memungkinkan untuk memilih tim yang berbeda dalam suatu pertandingan. Dalam industri musik, permutasi dapat digunakan untuk menghitung berapa banyak cara yang memungkinkan untuk mengatur lagu-lagu dalam suatu album, sedangkan kombinasi dapat digunakan untuk menghitung berapa banyak lagu yang dapat dipilih untuk acara tertentu.
Dalam kehidupan sehari-hari, permutasi dan kombinasi dapat digunakan dalam banyak hal, seperti menentukan pemenang undian, memilih resep masakan dari berbagai bahan makanan yang ada, atau menentukan kombinasi angka pada kunci pintu. Dalam semua kasus tersebut, permutasi dan kombinasi digunakan sebagai alat bantu dalam menghitung kemungkinan yang ada.
Dalam kesimpulannya, permutasi dan kombinasi memiliki perbedaan mendasar dalam hal pengaturan. Dalam permutasi, pengaturan menjadi sangat penting dan harus dipertimbangkan, sedangkan dalam kombinasi, urutan tidak perlu dipertimbangkan. Permutasi dan kombinasi digunakan dalam berbagai aplikasi, mulai dari keuangan, olahraga, industri musik, dan masalah kehidupan sehari-hari. Ketika kita menghadapi masalah yang melibatkan objek-objek yang dapat diurutkan atau dikombinasikan, penting untuk memilih metode yang tepat agar hasil yang didapat akurat dan sesuai dengan konteks permasalahan yang diberikan.
Rumus Permutasi
Permutasi adalah teknik pengaturan objek atau elemen ke dalam urutan tertentu. Ada dua jenis permutasi: permutasi dengan pengulangan (permutasi dengan pengulangan) dan permutasi tanpa pengulangan.
Permutasi tanpa pengulangan terjadi ketika objek atau elemen tidak dapat diulang saat diatur sedangkan permutasi dengan pengulangan terjadi ketika objek atau elemen dapat diulang. Secara matematis, permutasi tanpa pengulangan dihitung dengan rumus n!/(n-r)! sedangkan permutasi dengan pengulangan dihitung dengan rumus n^r.
Untuk memahami perhitungan permutasi lebih jelas, berikut akan diberikan beberapa contoh soal tentang permutasi:
Contoh Soal 1
Dalam sebuah kelompok terdapat 6 orang. Berapa banyak kemungkinan pengaturan barisan jika hanya terdapat 3 kursi yang tersedia?
Untuk menghitung jumlah kemungkinan pengaturan barisan, kita perlu menggunakan rumus permutasi tanpa pengulangan n!/(n-r)! di mana n adalah jumlah total objek (dalam hal ini 6) dan r adalah jumlah objek yang ingin diambil untuk diatur pengaturannya (dalam hal ini 3).
Maka, perhitungan permutasi nya adalah :
6!/(6-3)! = 6!/3! = (6 x 5 x 4) / (3 x 2 x 1) = 120 kemungkinan pengaturan barisan.
Contoh Soal 2
Seorang penjual buku memiliki 5 buku pelajaran matematika, 3 buku sejarah dan 2 buku kimia yang ingin ia pajang pada rak buku. Berapa banyak cara ia dapat mengatur buku-buku tersebut pada rak buku?
Untuk menghitung jumlah cara penjual buku dapat mengatur buku-bukunya pada rak, kita perlu menggunakan rumus permutasi tanpa pengulangan. Karena kita ingin mengatur seluruh 10 buku pada rak, n = 10 dan r = 10.
Maka, perhitungan permutasi nya adalah :
10! = (10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) = 3.628.800 kemungkinan cara penjual buku dapat mengatur buku-bukunya pada rak.
Contoh Soal 3
Berapa banyak kata yang dapat dibuat dari huruf ‘MATHEMATICA’?
Kita dapat menggunakan rumus permutasi dengan pengulangan, n^r, untuk menghitung jumlah kemungkinan kata yang dapat dibuat dari huruf ‘MATHEMATICA’.
Maka, perhitungan permutasi nya adalah :
11^11 = 28.311.111.211.376.100.000 kemungkinan kata yang dapat dibuat dari huruf ‘MATHEMATICA.’
Contoh Soal 4
Seorang atlet panahan ingin mengambil 3 anak panah dari tas panahnya yang berisi 7 anak panah yang terdapat dengan warna yang berbeda. Berapa banyak pilihan yang ia dapat lakukan?
Untuk menentukan berapa banyak pilihan yang dapat dilakukan, kita juga dapat menggunakan rumus permutasi tanpa pengulangan.
Maka, perhitungan permutasi nya adalah :
7!/(7-3)! = (7 x 6 x 5) / (3 x 2 x 1) = 35 pilihan yang dapat dilakukan oleh atlet panahan dalam memilih 3 anak panah dari tas panah nya.
Semoga contoh soal tentang permutasi di atas dapat membantu Anda memahami lebih dalam tentang rumus permutasi dan cara menghitungnya. Jangan lupa untuk selalu berlatih dan mengasah kemampuan Anda dalam akademik maupun non-akademik untuk meraih sukses di masa depan.
Contoh Soal Permutasi
Permutasi adalah salah satu cabang matematika yang mempelajari mengenai pengaturan atau susunan atau pemilihan objek-objek tertentu dari sekelompok objek. Pada permutasi, urutan atau rangkaian sangat mempengaruhi hasil akhir yang diperoleh. Untuk memahami lebih lanjut tentang permutasi, berikut ini adalah beberapa contoh soal tentang permutasi beserta pembahasan dan jawaban.
Contoh Soal 1
Terdapat 6 buah bola yang diwarnai dengan warna berbeda. Berapa banyak cara pengambilan 3 bola dari 6 bola tersebut?
Pembahasan:
Menggunakan rumus permutasi, maka banyaknya cara pengambilan 3 bola dari 6 bola tersebut adalah:
P(6,3) = 6! / (6 – 3)! = 6 x 5 x 4 = 120
Jadi, terdapat 120 cara pengambilan 3 bola dari 6 bola yang diwarnai dengan warna berbeda.
Contoh Soal 2
Terdapat 9 orang yang ingin diatur duduk di sepanjang meja yang panjang. Berapa banyak cara pengaturan duduk mereka jika tidak ada yang boleh bersebelahan?
Pembahasan:
Karena tidak ada yang boleh bersebelahan, maka orang yang di sebelah kiri dan kanan harus berbeda. Berdasarkan ini, dapat dihitung banyaknya cara pengaturan duduk mereka menggunakan rumus permutasi, yaitu:
P(9,9) – P(8,8) = 9! – 8! = 362880 – 40320 = 322560
Jadi, terdapat 322560 cara pengaturan duduk dari 9 orang jika tidak ada yang boleh bersebelahan.
Contoh Soal 3
Terdapat 7 buah benda yang berbeda dan kita akan memilih 5 buah benda tersebut untuk diletakkan pada rak. Berapa banyak cara pengaturan benda-benda tersebut?
Pembahasan:
Menggunakan rumus permutasi, maka banyaknya cara pengaturan 5 buah benda dari 7 buah benda adalah:
P(7,5) = 7! / (7 – 5)! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 = 2520
Jadi, terdapat 2520 cara pengaturan 5 buah benda dari 7 buah benda yang berbeda.
Contoh Soal 4
Terdapat 4 buah buku yang berbeda warna dan kita akan meletakkannya pada rak. Berapa banyak cara pengaturan buku-buku tersebut jika buku berwarna merah harus diletakkan pada posisi paling depan?
Pembahasan:
Karena buku berwarna merah harus diletakkan pada posisi paling depan, maka kita hanya perlu menghitung banyaknya cara pengaturan tiga buku yang tersisa menggunakan rumus permutasi, yaitu:
P(3,3) = 3! = 6
Jadi, terdapat 6 cara pengaturan 3 buah buku yang berbeda warna jika buku berwarna merah harus diletakkan pada posisi paling depan.
Contoh Soal 5
Seorang ahli biologi memiliki lima lalat betina dan enam lalat jantan yang berbeda warna. Berapa banyak cara permutasi yang dapat dibuat dari kelompok kecil tiga lalat yang terdiri dari lalat betina dan lalat jantan jika semua lalat betina dan semua lalat jantan juga harus dipilih?
Pembahasan:
Karena kita harus memilih 3 lalat, terdiri dari 1 lalat betina dan 2 lalat jantan, maka banyaknya cara penghitungan yang mungkin dapat dilakukan dengan rumus permutasi adalah:
P(5,1) x P(6,2) = 5 x 15 x 14 = 1050
Jadi, terdapat 1050 cara permutasi yang dapat dibuat dari kelompok kecil tiga lalat yang terdiri dari lalat betina dan lalat jantan.
