infokemendikbud.com Info Kemendikbud Selamat datang para pembaca yang budiman! Pada kesempatan kali ini, kita akan membahas mengenai contoh soal turunan pertama fungsi. Turunan pertama ini merupakan konsep yang sangat penting dalam ilmu matematika. Dalam penggunaannya, turunan pertama dapat membantu kita dalam menemukan nilai maksimum atau minimum pada sebuah fungsi. Oleh karena itu, penting bagi kita untuk memahami konsep turunan pertama dengan baik. Untuk itu, mari kita simak contoh-contoh soal turunan pertama fungsi berikut ini.
Pengertian Turunan Pertama Fungsi
Turunan pertama suatu fungsi adalah nilai turunan fungsi tersebut pada tiap titik dalam interval domain. Turunan pertama merupakan turunan yang paling mendasar bagi sebuah fungsi. Dalam pelajaran kalkulus, turunan pertama fungsi sering dibahas karena memiliki banyak aplikasi dalam analisis matematika.
Turunan pertama fungsi didefinisikan sebagai perubahan rasio antara perubahan fungsi dengan perubahan nilai argumen dalam interval interval domain yang sangat kecil. Nilai turunan fungsi pertama juga dapat diartikan sebagai laju perubahan fungsi terhadap variabel bebas pada nilai x tertentu.
Dalam notasi matematika, turunan pertama fungsi sering dilambangkan dengan simbol f'(x) atau dy/dx, dengan x adalah variabel bebas dan y adalah fungsi. Turunan pertama fungsi sering digunakan untuk menentukan tingkat perubahan pada suatu titik dalam interval domain.
Contoh Soal Turunan Pertama Fungsi
Untuk lebih memahami konsep turunan pertama fungsi, berikut ini beberapa contoh soal beserta penyelesaian:
Contoh Soal 1: Carilah turunan pertama fungsi f(x) = -3x^2 + 6x – 5 pada titik x = 4.
Penyelesaian:
Untuk mencari turunan pertama fungsi f(x), pertama-tama kita harus menghitung nilai turunan pada tiap titik dalam interval domain. Dalam kasus ini, kita diminta mencari turunan pertama pada titik x = 4.
f(x) = -3x^2 + 6x – 5
f'(x) = -6x + 6
Untuk mencari nilai turunan pertama fungsi pada titik x = 4, kita tinggal substitusikan nilai x = 4 ke dalam persamaan turunan pertama f'(x):
f'(4) = -6(4) + 6
f'(4) = -18
Jadi, nilai turunan pertama fungsi f(x) pada titik x=4 adalah -18.
Contoh Soal 2: Carilah turunan pertama fungsi f(x) = 4x^3 – 2x^2 + 5x + 1 pada titik x = -2.
Penyelesaian:
Untuk mencari nilai turunan pertama fungsi f(x) pada titik x = -2, kita harus terlebih dahulu mencari turunan pertama dari fungsi itu sendiri.
f(x) = 4x^3 – 2x^2 + 5x + 1
f'(x) = 12x^2 – 4x + 5
Setelah kita mendapatkan persamaan turunan pertama fungsi f(x), kita dapat substitusikan nilai x = -2, sehingga didapat:
f'(-2) = 12(-2)^2 – 4(-2) + 5
f'(-2) = 56
Jadi, nilai turunan pertama fungsi f(x) pada titik x=-2 adalah 56.
Dari contoh soal di atas, kita dapat melihat bahwa konsep turunan pertama fungsi dapat dipraktikkan dalam berbagai aspek kehidupan. Dalam analisis ekonomi, turunan pertama fungsi sering digunakan untuk menentukan laju perubahan nilai suatu variabel terhadap variabel lainnya. Sedangkan dalam fisika, turunan pertama sering digunakan untuk menentukan kecepatan benda pada titik tertentu.
Rumus Turunan Pertama Fungsi
Turunan pertama adalah salah satu konsep penting dalam matematika, terutama untuk kalkulus. Turunan pertama pada dasarnya adalah tingkat perubahan dari suatu fungsi pada suatu titik tertentu. Secara matematis, turunan pertama dapat dihitung dengan menggunakan rumus turunan pertama fungsi.
Rumus turunan pertama fungsi y = f(x) adalah f'(x) = lim (h → 0) [(f(x + h) – f(x)) / h].
Di mana, f'(x) adalah turunan pertama dari f(x) pada titik x, dan h adalah jarak antara titik yang akan dianalisis dan titik sekitarnya.
Contoh Soal Turunan Pertama Fungsi
Berikut adalah beberapa contoh soal turunan pertama fungsi:
Contoh Soal 1:
Tentukan turunan pertama dari fungsi f(x) = x^2 pada titik x = 2.
Jawaban:
Dari rumus turunan pertama fungsi, kita bisa menghitung turunan pertama dengan cara sebagai berikut:
f'(x) = lim (h → 0) [(f(x + h) – f(x)) / h]
= lim (h → 0) [(f(2 + h) – f(2)) / h]
= lim (h → 0) [((2 + h)^2 – 2^2) / h]
= lim (h → 0) [(4 + 4h + h^2 – 4) / h]
= lim (h → 0) [(4h + h^2) / h]
= lim (h → 0) [4 + h] = 4
Jadi, turunan pertama dari f(x) = x^2 pada titik x = 2 adalah 4.
Contoh Soal 2:
Tentukan turunan pertama dari fungsi g(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x pada titik x = 1.
Jawaban:
Dari rumus turunan pertama fungsi, kita bisa menghitung turunan pertama dengan cara sebagai berikut:
g'(x) = lim (h → 0) [(g(x + h) – g(x)) / h]
= lim (h → 0) [(g(1 + h) – g(1)) / h]
= lim (h → 0) [(3(1 + h)^3 – 5(1 + h)^2 + 2(1 + h) – (3(1)^3 – 5(1)^2 + 2(1))) / h]
= lim (h → 0) [(3(1 + 3h + 3h^2 + h^3) – 5(1 + 2h + h^2) + 2 + 2h – 3 + 5 – 2) / h]
= lim (h → 0) [(3h^3 + 9h^2) / h]
= lim (h → 0) [3h^2 + 9h] = 9
Jadi, turunan pertama dari g(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x pada titik x = 1 adalah 9.
Contoh Soal 3:
Tentukan turunan pertama dari fungsi h(x) = sin(x) pada titik x = π/2.
Jawaban:
Dari rumus turunan pertama fungsi, kita bisa menghitung turunan pertama dengan cara sebagai berikut:
h'(x) = lim (h → 0) [(h(x + h) – h(x)) / h]
= lim (h → 0) [(sin(π/2 + h) – sin(π/2)) / h]
= lim (h → 0) [(sin(π/2 + h) – 1) / h]
= lim (h → 0) [(sin(π/2)cos(h) + cos(π/2)sin(h) – 1) / h]
= lim (h → 0) [(1cos(h) + 0sin(h) – 1) / h]
= lim (h → 0) [(-sin(h)) / h]
= lim (h → 0) [-1] = -1
Jadi, turunan pertama dari h(x) = sin(x) pada titik x = π/2 adalah -1.
Turunan pertama fungsi dapat digunakan untuk membantu menganalisis perubahan nilai dari sebuah fungsi pada titik tertentu. Selain itu, dengan memahami rumus dan cara menghitung turunan pertama pada suatu fungsi, kita dapat lebih memahami konsep kalkulus secara menyeluruh.
Turunan Pertama Fungsi
Turunan pertama pada fungsi dapat diartikan sebagai perubahan yang terjadi pada fungsi apabila nilai dari variabel yang digunakan untuk menentukan fungsi mengalami perubahan. Dalam matematika, turunan pertama fungsi sering kali digunakan untuk menghitung gradien atau kemiringan kurva pada suatu titik.
Rumus Turunan Pertama Fungsi
Rumus turunan pertama fungsi dapat dinyatakan sebagai berikut:
f'(x) = lim h->0 [f(x+h) - f(x)]/h
Dalam rumus di atas, f(x) adalah bentuk umum dari sebuah fungsi. Sedangkan f'(x) menyatakan turunan pertama dari fungsi tersebut pada titik x. H dalam rumus di atas merupakan jarak antara x dan x+h.
Contoh Soal Turunan Pertama Fungsi
Berikut adalah contoh soal turunan pertama fungsi:
Diketahui fungsi f(x) = 3x^2 + 2x. Hitunglah turunan pertama dari fungsi tersebut pada titik x = 2.
Jawab:
f(x) = 3x^2 + 2x f'(x) = lim h->0 [f(x+h) - f(x)]/h f'(2) = lim h->0 [(3(2+h)^2 + 2(2+h)) - (3(2)^2 + 2(2))]/h f'(2) = lim h->0 [(3(4+4h+h^2) + 4+2h) - (12+4)]/h f'(2) = lim h->0 [12h+3h^2+6]/h f'(2) = lim h->0 [3h+6] = 6
Jadi, turunan pertama dari fungsi f(x) = 3x^2 + 2x pada titik x = 2 adalah 6.
Penjelasan Contoh Soal
Dalam contoh soal di atas, kita diminta untuk mencari turunan pertama dari fungsi f(x) = 3x^2 + 2x pada titik x = 2. Pertama-tama, kita harus mengaplikasikan rumus turunan pertama pada fungsi tersebut. Kemudian, kita harus menghitung turunan pertama pada titik x = 2 dengan mengganti nilai x dengan 2 dalam rumus yang sudah kita aplikasikan sebelumnya. Setelah itu, kita harus melakukan perhitungan dan menyimpulkan hasil akhir.
Kegunaan Turunan Pertama Fungsi
Turunan pertama fungsi sangat berguna dalam matematika, terutama dalam kalkulus. Salah satu kegunaannya adalah untuk menghitung gradien atau kemiringan kurva pada suatu titik. Selain itu, turunan pertama fungsi juga dapat digunakan untuk mencari nilai maksimum atau minimum pada suatu fungsi, serta untuk menentukan apakah suatu fungsi meningkat atau menurun pada suatu interval tertentu.
Contoh Soal Turunan Pertama Fungsi
Turunan adalah salah satu konsep penting dalam matematika. Dalam kalkulus, turunan adalah perubahan suatu fungsi terhadap variabel independen, dan digunakan untuk memodelkan tingkat perubahan suatu fenomena terhadap faktor-faktor penyebabnya. Turunan pertama sebuah fungsi adalah turunan yang diperoleh dengan mengambil perbedaan dari nilai-nilai fungsi tersebut terhadap variabel independen yang diberikan. Oleh karena itu, turunan pertama sering disebut sebagai gradien atau kecepatan fungsi di titik tertentu.
Untuk mencari turunan pertama sebuah fungsi, kita perlu menggunakan rumus turunan yang sudah ditentukan. Rumus turunan pertama fungsi sederhana dan mudah dipahami, dan dapat diterapkan pada berbagai jenis fungsi. Dalam contoh berikut, kita akan mencari turunan pertama fungsi f(x) = 3x^2 – 6x + 2.
Cara Mencari Turunan Pertama Fungsi
Secara umum, turunan pertama suatu fungsi dapat dicari dengan mengembangkan fungsi tersebut menggunakan aturan-aturan dasar diferensial, seperti aturan pangkat, aturan tentang jumlah dan selisih fungsi, dan aturan rantai. Aturan-aturan diferensial tersebut bisa ditemukan di buku-buku matematika atau di internet. Dalam hal ini, rumus turunan pertama fungsi sederhana yang akan kita gunakan adalah:
d/dx (ax^n) = anx^(n-1)
Dalam turunan pertama fungsi f(x) = 3x^2 – 6x + 2, kita perlu mengambil turunan dari setiap suku dalam fungsi tersebut. Kita tahu bahwa turunan dari x^n adalah nx^(n-1), jadi turunan pertama dari suku pertama, 3x^2, adalah:
d/dx (3x^2) = 6x
Kita juga tahu bahwa turunan dari konstanta adalah nol, jadi turunan pertama dari suku terakhir, 2, adalah:
d/dx (2) = 0
Untuk suku kedua, -6x, turunan pertamanya dapat dihitung dengan mengambil turunan dari -6x^1, karena suku ini sudah dalam bentuk yang sesuai. Jadi, turunan pertama dari suku kedua adalah:
d/dx (-6x) = -6
Dengan demikian, turunan pertama dari fungsi f(x) = 3x^2 – 6x + 2 adalah:
f'(x) = d/dx (3x^2 – 6x + 2) = 6x – 6
Selesai. Kita telah menghitung turunan pertama fungsi f(x) = 3x^2 – 6x + 2, yang ternyata adalah 6x – 6.
Contoh Soal Latihan
Untuk memperdalam pemahaman mengenai rumus turunan pertama fungsi, berikut ini adalah beberapa contoh soal latihan yang perlu diselesaikan. Carilah turunan pertama fungsi-fungsi berikut:
1. f(x) = x^3 + 4x^2 – 5x
2. f(x) = 2x^2 – 10x + 3
3. f(x) = cos(x) + 2sin(x)
4. f(x) = 3e^2x + 5e^-3x
Untuk setiap soal di atas, carilah turunan pertama dengan menggunakan rumus turunan pertama yang sudah kita pelajari sebelumnya. Jangan lupa untuk mengecek jawaban hasil turunan dengan aturan turunan yang sudah kita ketahui, seperti aturan bahwa turunan konstanta adalah nol, turunan dari x^n adalah nx^(n-1), dan lain-lain.
Setelah kita mampu menyelesaikan soal-soal latihan di atas, kita dapat perlahan-lahan meningkatkan kemampuan kita dalam kalkulus menggunakan rumus turunan pertama fungsi. Dengan latihan yang cukup, kita akan mampu mencari turunan pertama dari fungsi-fungsi yang lebih kompleks dan bervariasi, dan selanjutnya mempelajari turunan-turunan orde yang lebih tinggi.
Penyelesaian Contoh Soal Turunan Pertama Fungsi
Turunan pertama merupakan salah satu konsep dasar dalam kalkulus. Turunan pertama fungsi merupakan turunan terhadap variabel bebas f(x) dengan asumsi bahwa variabel lainnya dianggap tetap. Dalam contoh soal turunan pertama fungsi, kita akan dihadapkan pada permasalahan untuk menentukan turunan suatu fungsi.
Contoh soal turunan pertama fungsi yang umum adalah:
Diketahui f(x) = 3x^2 – 6x, tentukan turunan pertama f(x).
Langkah pertama dalam menyelesaikan contoh soal turunan pertama fungsi adalah dengan mengaplikasikan rumus turunan pertama. Sebagai catatan, rumus turunan pertama adalah:
f'(x) = lim h→0 [f(x+h) – f(x)] / h
Dalam rumus tersebut, h merupakan perubahan kecil dalam nilai variabel. Dalam konteks turunan pertama, nilai h yang digunakan semakin mendekati 0. Setelah itu, kita tinggal menggantikan f(x) dengan persamaan fungsinya, sehingga kita dapat menyelesaikan contoh soal turunan pertama fungsi. Berikut langkah-langkahnya:
Langkah 1
Tentukan rumus fungsi, yaitu f(x) = 3x^2 – 6x.
Langkah 2
Gantikan f(x) dengan (f(x+h) – f(x)) / h sehingga didapatkan:
f'(x) = lim h→0 [(f(x+h) – f(x)) / h]
Langkah 3
Substitusikan rumus f(x) ke rumus di langkah 2, sehingga didapatkan:
f'(x) = lim h→0 [((3(x+h)^2 – 6(x+h)) – (3x^2 – 6x)) / h]
Langkah 4
Selanjutnya, kita dapat menyederhanakan persamaan dengan melakukan ekspansi kuadrat pada (x+h)^2 dan penghapusan term yang sama, sehingga didapatkan:
f'(x) = lim h→0 [(3x^2 + 6xh + 3h^2 – 6x – 6h) – (3x^2 – 6x)) / h]
Langkah 5
Setelah itu, kita dapat menyederhanakan persamaan dengan menghilangkan term yang sama dan memfaktorkan h, sehingga didapatkan:
f'(x) = lim h→0 [(6xh + 3h^2 – 6h) / h]
Langkah 6
Kita dapat memfaktorkan 3h dari faktor yang tersisa, sehingga didapatkan:
f'(x) = lim h→0 [(h(6x + 3h – 6)) / h]
Langkah 7
Terakhir, kita bisa menghapus faktor h dari persamaan, dan faktor (6x + 3h – 6) dapat dihitung saat h mendekati 0. Setelah itu, kita dapat menyelesaikan contoh soal turunan pertama fungsi dan diperoleh:
f'(x) = 6x – 6
Sehingga turunan pertama fungsi f(x) adalah 6x – 6.
Berdasarkan contoh soal turunan pertama fungsi yang telah dijabarkan di atas, terlihat bahwa rumus turunan pertama cukup sederhana dan mudah dipahami. Selain itu, dengan penerapan rumus turunan pertama, kita dapat menentukan turunan pertama fungsi dan memperoleh pemahaman yang lebih baik mengenai fungsi tersebut.
