Contoh Soal Turunan Pertama

Halo, Sobat Belajar! Pernahkah kamu mendengar istilah turunan pertama? Ya, turunan pertama adalah salah satu cabang ilmu matematika yang membahas tentang proses menghitung laju perubahan suatu fungsi dalam satu titik tertentu. Pada dasarnya, turunan pertama sangat penting dalam dunia sains dan teknologi, terutama untuk mempelajari konsep-konsep peluang dan optimasi. Nah, agar bisa lebih memahami tentang turunan pertama, yuk kita simak contoh soal turunan pertama berikut ini. Selamat membaca!

Pengertian Turunan Pertama

Turunan pertama adalah konsep matematika yang penting dalam ilmu kalkulus. Secara umum, turunan pertama adalah perubahan kecil dalam suatu fungsi akibat perubahan kecil pada variabel input-nya. Turunan pertama berguna untuk memprediksi perubahan suatu fungsi, dan digunakan dalam berbagai aplikasi praktis, seperti dalam ilmu fisika dan ekonomi.

Secara formal, turunan pertama dari suatu fungsi f adalah:

f'(x) = lim (h → 0) [(f(x+h) – f(x))/h]

Artinya, untuk mencari turunan pertama f(x) pada titik x, kita menghitung limit dari perbedaan f(x+h) dan f(x), lalu membaginya dengan nilai h yang sangat kecil. Dalam kasus limit ini mendekati nol, turunan pertama f(x) didefinisikan sebagai nilai limit tersebut.

Contoh Soal Turunan Pertama

Contoh soal turunan pertama dapat membantu Anda memahami konsep ini dengan lebih baik. Berikut adalah beberapa contoh soal turunan pertama:

Contoh Soal 1:
Diberikan fungsi f(x) = 2x + 1. Tentukan turunan pertama f'(x).

Jawaban:
f'(x) = lim (h → 0) [(f(x+h) – f(x))/h] = lim (h → 0) [(2(x+h) + 1) – (2x + 1)]/h
= lim (h → 0) [2h]/h
= 2

Sehingga, turunan pertama dari f(x) adalah f'(x) = 2.

Contoh Soal 2:
Diberikan fungsi g(x) = x^2 – 3x + 2. Tentukan turunan pertama g'(x).

Jawaban:
g'(x) = lim (h → 0) [(g(x+h) – g(x))/h] = lim (h → 0) [((x+h)^2 – 3(x+h) + 2) – (x^2 – 3x + 2)]/h
= lim (h → 0) [(x^2 + 2xh + h^2 – 3x – 3h + 2) – x^2 + 3x – 2]/h
= lim (h → 0) [2xh + h^2 – 3h]/h
= lim (h → 0) [2x + h – 3] = 2x – 3

Sehingga, turunan pertama dari g(x) adalah g'(x) = 2x – 3.

Manfaat Turunan Pertama dalam Kehidupan Sehari-hari

Turunan pertama memiliki banyak manfaat dalam kehidupan sehari-hari, terutama dalam ilmu fisika dan ekonomi. Berikut adalah beberapa contoh manfaat turunan pertama:

• Prediksi perubahan suhu dan kecepatan – Turunan pertama dapat digunakan untuk memprediksi perubahan suatu variabel, seperti suhu atau kecepatan. Dengan mengetahui turunan pertama suatu fungsi yang menggambarkan suatu fenomena, kita dapat memperkirakan bagaimana fenomena itu akan bereaksi terhadap perubahan variabel input-nya.
• Optimasi produksi dan penggunaan sumber daya – Turunan pertama dapat digunakan untuk mengoptimalkan produksi dan penggunaan sumber daya. Dalam ilmu ekonomi, turunan pertama dapat membantu menentukan strategi optimal dalam produksi dan penggunaan sumber daya. Misalnya, kita dapat menggunakan turunan pertama untuk memaksimalkan keuntungan atau meminimalkan biaya produksi.
• Peramalan tren pasar dan investasi – Turunan pertama dapat digunakan untuk meramalkan tren pasar dan investasi. Dalam ilmu ekonomi, turunan pertama dapat membantu meramalkan tren pengeluaran konsumen, permintaan pasar, atau kenaikan harga. Hal ini sangat berguna bagi investor yang ingin mengambil keputusan berdasarkan perkembangan pasar yang sedang mengalami perubahan.

Dalam kesimpulannya, turunan pertama adalah konsep matematika yang penting dalam ilmu kalkulus dan memiliki banyak manfaat dalam kehidupan sehari-hari. Dengan memahami konsep ini dan belajar melalui contoh soal, kita dapat mengaplikasikan turunan pertama dalam berbagai situasi praktis dan memperoleh hasil yang tepat.

Rumus Turunan Pertama

Turunan pertama adalah konsep matematika yang penting dan digunakan dalam banyak aspek kehidupan sehari-hari seperti fisika, ekonomi, dan teknik. Dalam matematika, turunan pertama dari suatu fungsi didefinisikan sebagai perubahan kecil dalam nilai fungsi ketika variabel inputnya juga mengalami perubahan kecil. Rumus turunan pertama penting untuk menyelesaikan berbagai masalah aljabar, diferensial, dan integral.

Rumus turunan pertama untuk fungsi y = f(x) adalah f'(x) = lim h→0 [f(x + h) – f(x)] / h. Artinya, turunan pertama dari suatu fungsi dihitung dengan mengambil limit dari perubahan fungsi f ketika nilai x bergeser sedikit. Nilai turunan pertama mengindikasikan rasio perubahan antara fungsi dan nilai inputnya.

Contoh Soal Turunan Pertama

Untuk mengerti rumus turunan pertama, mari kita lihat beberapa contoh soal berikut:

Contoh Soal 1

Hitunglah turunan pertama dari fungsi f(x) = x^2 + 3x + 5.

Untuk menghitung turunan pertama, kita perlu memasukkan nilai fungsi f(x) ke dalam rumus turunan pertama:

f'(x) = lim h→0 [f(x+h) – f(x)] / h

= lim h→0 [(x+h)^2 + 3(x+h) + 5 – (x^2 + 3x + 5)] / h

= lim h→0 [(x^2 + 2xh + h^2 + 3x + 3h + 5) – (x^2 + 3x + 5)] / h

= lim h→0 [2xh + h^2 + 3h] / h

= lim h→0 2x + h + 3

Jadi, turunan pertama dari fungsi f(x) = x^2 + 3x + 5 adalah f'(x) = 2x + 3.

Contoh Soal 2

Hitunglah turunan pertama dari fungsi f(x) = 4x^3 – 2x + 1.

Untuk menghitung turunan pertama, kita perlu memasukkan nilai fungsi f(x) ke dalam rumus turunan pertama:

f'(x) = lim h→0 [f(x+h) – f(x)] / h

= lim h→0 [4(x+h)^3 – 2(x+h) + 1 – (4x^3 – 2x + 1)] / h

= lim h→0 [4(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3) – 2(x+h) – 4x^3 + 2x – 1] / h

= lim h→0 [12x^2h + 12xh^2 + 4h^3 – 2h] / h

= lim h→0 12x^2 + 12xh + 4h^2 – 2

Jadi, turunan pertama dari fungsi f(x) = 4x^3 – 2x + 1 adalah f'(x) = 12x^2 – 2.

Contoh Soal 3

Hitunglah turunan pertama dari fungsi f(x) = √x + 4.

Untuk menghitung turunan pertama, kita perlu memasukkan nilai fungsi f(x) ke dalam rumus turunan pertama:

f'(x) = lim h→0 [f(x+h) – f(x)] / h

= lim h→0 [√(x+h) + 4 – √x – 4] / h

= lim h→0 [√(x+h) – √x] / h

= lim h→0 [(x+h) – x] / h(√(x+h) + √x)

= lim h→0 1 / (√(x+h) + √x)

= 1 / 2√x

Jadi, turunan pertama dari fungsi f(x) = √x + 4 adalah f'(x) = 1 / 2√x.

Kesimpulan

Rumus turunan pertama adalah konsep matematika yang penting dan digunakan dalam banyak aspek kehidupan sehari-hari. Turunan pertama dari suatu fungsi didefinisikan sebagai perubahan kecil dalam nilai fungsi ketika variabel inputnya juga mengalami perubahan kecil. Rumus turunan pertama penting untuk menyelesaikan berbagai masalah aljabar, diferensial, dan integral.