infokemendikbud.com Info Kemendikbud
Halo teman-teman! Sudah tahu tentang turunan tingkat tinggi dalam matematika? Bagi sebagian dari kita, mungkin turunan biasa saja sudah cukup memusingkan. Namun, di dunia pendidikan terdapat konsep turunan tingkat tinggi yang wajib dikuasai oleh siswa yang mengambil pelajaran matematika. Jadi, dalam artikel ini, mari kita bahas satu contoh soal turunan tingkat tinggi dalam pendidikan dan bagaimana cara menyelesaikannya. Siapkan pikiranmu dan mari kita belajar bersama!
Pengertian Turunan Tingkat Tinggi
Turunan tingkat tinggi adalah konsep turunan yang lebih maju dari turunan biasa. Turunan menjadi tingkat tinggi jika turunan yang dihasilkan dari turunan awal merupakan turunan dari fungsi lain yang mengalami turunan. Dalam kata lain, turunan tingkat tinggi merupakan turunan dari suatu fungsi turunan.
Contoh sederhana dari turunan tingkat tinggi adalah:
f(x) = (x^2 + 2x)ln(x)
f'(x) = (2x + 2)ln(x) + (x^2 + 2x) * 1/x
f”(x) = (4x + 6)ln(x) + (2x^2 + 6x) * 1/x^2 + 2x + 2/x
Pada contoh di atas, f'(x) merupakan turunan pertama. Namun, f”(x) adalah turunan tingkat tinggi dari f(x) karena turunan f'(x) juga mengandung turunan lain.
Cara Menghitung Turunan Tingkat Tinggi
Menghitung turunan tingkat tinggi membutuhkan pemahaman yang kuat tentang turunan biasa (turunan pertama). Dengan memahami turunan pertama, penghitungan turunan tingkat tinggi dapat dilakukan dengan menggunakan aturan rantai (chain rule).
Berikut adalah langkah-langkah umum untuk menghitung turunan tingkat tinggi:
- Mulai dengan menghitung turunan fungsi pertama pada fungsi awal.
- Gunakan aturan rantai untuk menghitung turunan fungsi tersebut dengan memperhatikan fungsi tambahan.
- Teruskan proses ini sampai turunan terakhir tercapai.
Contoh penghitungan turunan tingkat tinggi menggunakan aturan rantai:
f(x) = (x^2 + 3x) * sin(x)
f'(x) = (2x + 3)sin(x) + (x^2 + 3x)cos(x)
f”(x) = (4 + x^2)sin(x) + 6cos(x) + 2xcos(x) – 3x^2sin(x)
Proses penghitungan turunan tingkat tinggi dapat terbilang rumit dan memakan waktu. Oleh karena itu, gunakan aturan rantai dengan hati-hati untuk menghindari kesalahan.
Aplikasi Turunan Tingkat Tinggi
Turunan tingkat tinggi memiliki banyak aplikasi di dalam matematika dan ilmu pengetahuan lainnya. Salah satu contoh penerapannya adalah dalam penentuan titik ekstremum pada suatu fungsi.
Titik ekstremum merupakan titik pada grafik fungsi yang memiliki nilai minimum atau maksimum. Turunan pertama dapat digunakan untuk menentukan di mana titik ekstremum terletak pada suatu fungsi. Namun, jika ada lebih dari satu titik ekstremum, turunan tingkat tinggi akan membantu menentukan jumlah dan tipe titik ekstremum yang ada.
Contoh penggunaan turunan tingkat tinggi dalam menentukan titik ekstremum:
f(x) = x^5 -5x^3 + 4x
f'(x) = 5x^4 – 15x^2 + 4
f”(x) = 20x^3 – 30x
Dalam contoh ini, titik ekstremum dapat ditemukan ketika f'(x) = 0. Setelah itu, diperiksa apakah nilai f”(x) positif atau negatif untuk menentukan tipe titik ekstremum. Jika f”(x) positif, maka titik ekstremum tersebut adalah titik minimum. Sebaliknya, jika f”(x) negatif, titik ekstremum tersebut merupakan titik maksimum.
Kesimpulan
Turunan tingkat tinggi adalah turunan dari suatu fungsi turunan. Penghitungan turunan tingkat tinggi membutuhkan pemahaman yang kuat tentang turunan biasa dan aturan rantai. Turunan tingkat tinggi memiliki banyak aplikasi dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan, terutama dalam penentuan titik ekstremum pada suatu fungsi.
Fungsi-fungsi Trigonometri
Fungsi trigonometri adalah fungsi matematika yang terdiri dari fungsi sinus, kosinus, dan tangen. Fungsi ini banyak diterapkan dalam bidang matematika dan fisika.
Contoh soal turunan tingkat tinggi pada fungsi sinus:
1. Hitunglah turunan keempat dari fungsi y = sin x.
Penyelesaian:
Pertama-tama, kita akan cari turunan pertama dari sin x, yaitu:
f'(x) = cos x
Kemudian cari turunan kedua dari sin x, yaitu:
f”(x) = -sin x
Selanjutnya, cari turunan ketiga dari sin x, yaitu:
f”'(x) = -cos x
Dan terakhir, cari turunan keempat dari sin x, yaitu:
f””(x) = sin x
Sehingga turunan keempat dari y = sin x adalah sin x.
Contoh soal turunan tingkat tinggi pada fungsi kosinus:
2. Hitunglah turunan ketiga dari fungsi y = cos x.
Penyelesaian:
Pertama-tama, kita akan cari turunan pertama dari cos x, yaitu:
f'(x) = -sin x
Kemudian cari turunan kedua dari cos x, yaitu:
f”(x) = -cos x
Selanjutnya, cari turunan ketiga dari cos x, yaitu:
f”'(x) = sin x
Sehingga turunan ketiga dari y = cos x adalah sin x.
Contoh soal turunan tingkat tinggi pada fungsi tangen:
3. Hitunglah turunan kelima dari fungsi y = tan x.
Penyelesaian:
Pertama-tama, kita akan cari turunan pertama dari tan x, yaitu:
f'(x) = sec2 x
Kemudian cari turunan kedua dari tan x, yaitu:
f”(x) = 2sec2 x.tan x
Selanjutnya, cari turunan ketiga dari tan x, yaitu:
f”'(x) = 2(sec2 x + 2sec4 x)
Kemudian cari turunan keempat dari tan x, yaitu:
f””(x) = 8sec2 x.tan x(sec2 x + 2sec4 x)
Dan terakhir, cari turunan kelima dari tan x, yaitu:
f””'(x) = 8sec2 x(sec4 x + 8sec6 x + 3sec2 x.tan2 x)
Sehingga turunan kelima dari y = tan x adalah 8sec2 x(sec4 x + 8sec6 x + 3sec2 x.tan2 x).
Dalam menyelesaikan soal turunan tingkat tinggi pada fungsi trigonometri, kita harus memahami terlebih dahulu turunan dari fungsi-fungsi trigonometri itu sendiri. Semoga contoh soal di atas dapat membantu memahami konsep turunan tingkat tinggi pada fungsi trigonometri.
Aturan Rantai
Ketika kita mencari turunan fungsi yang dikomposisikan, kita dapat menggunakan aturan rantai atau juga dikenal sebagai aturan fungsi dalam aturan turunan. Aturan rantai berlaku untuk fungsi berderajat tinggi atau fungsi yang terdiri dari dua atau lebih fungsi yang dikomposisikan.
Secara umum, aturan rantai dapat diformulasikan sebagai berikut:
Jika f(x) = g(h(x)), maka turunan dari f(x) adalah:
f'(x) = g'(h(x)) * h'(x)
dengan g’ dan h’ masing-masing adalah turunan dari g dan h.
Contoh soal:
Diberikan fungsi f(x) = cos(4x + 3). Carilah turunan fungsi tersebut.
Kita dapat menguraikan fungsi f(x) menjadi f(x) = g(h(x)), dengan g(x) = cos(x) dan h(x) = 4x + 3. Dengan menggunakan aturan rantai, kita dapat mencari turunan dari f(x) sebagai berikut:
f'(x) = g'(h(x)) * h'(x)
= -sin(4x+3) * 4
= -4sin(4x+3)
Jadi, turunan dari fungsi f(x) = cos(4x + 3) adalah -4sin(4x + 3).
Aturan rantai juga dapat digunakan untuk menyelesaikan turunan dari fungsi-fungsi yang lebih kompleks yang melibatkan fungsi trigonometri, eksponensial, dan logaritma. Contohnya, jika kita ingin mencari turunan dari fungsi f(x) = e^cos(3x), kita dapat menguraikannya menjadi f(x) = g(h(x)), dengan g(x) = e^x dan h(x) = cos(3x). Dengan menggunakan aturan rantai, kita dapat menghitung turunan dari fungsi tersebut sebagai berikut:
f'(x) = g'(h(x)) * h'(x)
= e^cos(3x) * (-sin(3x)) * 3
= -3sin(3x) * e^cos(3x)
Aturan rantai memungkinkan kita untuk menyelesaikan turunan dari fungsi-fungsi yang lebih kompleks dengan lebih mudah dan cepat. Namun, kita perlu menghindari kesalahan-kesalahan yang umum terkait dengan penggunaannya, seperti menerapkan aturan rantai ke fungsi yang tidak dikomposisikan atau tidak memperhitungkan perubahan tanda ketika turunan dari fungsi dalam h(x) bernilai negatif. Dengan menguasai aturan rantai, kita dapat meningkatkan pemahaman tentang turunan dan meningkatkan kemampuan kita dalam menyelesaikan contoh soal turunan tingkat tinggi.
Aturan Produk dan Keping
Saat kita menghitung turunan dari suatu fungsi yang merupakan hasil kali atau hasil bagi dari dua fungsi lain, maka kita dapat menggunakan aturan produk dan keping (atau product and quotient rule) untuk mempermudah perhitungan.
Aturan Produk
Aturan produk merupakan aturan turunan yang digunakan untuk menghitung turunan dari hasil kali dua fungsi. Secara umum, aturan ini dapat dinyatakan sebagai berikut:
Jika u(x) dan v(x) adalah dua fungsi yang dapat diturunkan, maka:
d/dx (u(x) * v(x)) = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x)
Perhatikan bahwa turunan dari u(x) ditambah dengan v(x) dikalikan dengan turunan dari v(x) ditambah dengan u(x) dikalikan dengan turunan dari u(x).
Contoh soal:
Hitunglah turunan dari fungsi f(x) = x^2 * sin(x).
Penyelesaian:
Kita dapat menuliskan f(x) = u(x) * v(x) dengan:
u(x) = x^2 dan v(x) = sin(x).
Maka turunan dari f(x) dapat dihitung menggunakan aturan produk sebagai berikut:
f'(x) = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x)
= (2x * sin(x)) + (x^2 * cos(x))
Sehingga turunan dari f(x) adalah f'(x) = 2x * sin(x) + x^2 * cos(x).
Aturan Keping
Aturan keping (atau quotient rule) digunakan untuk menghitung turunan dari hasil bagi dua fungsi. Secara umum, aturan ini dapat dinyatakan sebagai berikut:
Jika u(x) dan v(x) adalah dua fungsi yang dapat diturunkan, maka:
d/dx (u(x) / v(x)) = (u'(x) * v(x) – u(x) * v'(x)) / [v(x)]^2
Perhatikan bahwa turunan dari u(x) dikurangi dengan v(x) dikalikan dengan turunan dari v(x), kemudian hasilnya dibagi dengan [v(x)]^2.
Contoh soal:
Hitunglah turunan dari fungsi f(x) = (x^2 + 1) / (x – 1).
Penyelesaian:
Kita dapat menuliskan f(x) = u(x) / v(x) dengan:
u(x) = x^2 + 1 dan v(x) = x – 1.
Maka turunan dari f(x) dapat dihitung menggunakan aturan keping sebagai berikut:
f'(x) = (u'(x) * v(x) – u(x) * v'(x)) / [v(x)]^2
= [(2x * (x – 1)) – ((x^2 + 1) * 1)] / [(x – 1)^2]
Atau dapat disederhanakan sebagai berikut:
f'(x) = (x^2 – 2x – 1) / [(x – 1)^2].
Dengan demikian, turunan dari f(x) adalah f'(x) = (x^2 – 2x – 1) / [(x – 1)^2].
Jadi, aturan produk dan keping sangatlah berguna dalam menghitung turunan dari fungsi yang merupakan hasil kali atau hasil bagi dari dua atau lebih fungsi. Dengan menguasai aturan ini, kita dapat menyelesaikan contoh soal turunan tingkat tinggi dengan lebih mudah dan cepat.
Penyelesaian Contoh Soal Turunan Tingkat Tinggi
Turunan tingkat tinggi merupakan turunan dari turunan atau biasa disebut dengan turunan kedua, ketiga, dan seterusnya. Pada umumnya, contoh soal turunan tingkat tinggi mempersulit siswa untuk menemukan jawaban karena terdapat beberapa peraturan dan rumus yang harus diperhatikan.
Sebelum menyelesaikan contoh soal turunan tingkat tinggi, ada beberapa hal yang perlu diperhatikan. Yang pertama, pastikan untuk mempelajari rumus dan aturan dalam penghitungan turunan tingkat tinggi dengan baik. Yang kedua, pastikan juga untuk menguasai teknik perhitungan turunan, termasuk penggunaan turunan u-subtitusi, turunan trigonometri, dan turunan fungsi eksponensial.
Contoh Soal 1
Diketahui:
f(x) = 3x³ – 2x² + 5x – 7
Hitung turunan ketiga f'(3).
Jawab:
Pertama-tama, tentukanlah turunan pertama dan turunan kedua dari fungsi tersebut:
f'(x) = 9x² – 4x + 5
f”(x) = 18x – 4
Untuk menghitung turunan ketiga, kita perlu melakukan perhitungan turunan f”(x) terlebih dahulu:
f”'(x) = 18
Setelah itu, kita dapat menghitung nilai turunan ketiga dari f'(3) menggunakan rumus:
f”'(x) = [f”(x+h) – f”(x)]/h
Dalam kasus ini, kita telah mengetahui nilai f”(x), sehingga kita dapat menggunakan rumus berikut:
f”'(3) = f”(3) = 18 x 3 – 4 = 46
Jadi, hasil dari perhitungan turunan ketiga f'(3) adalah 46.
Contoh Soal 2
Diketahui:
f(x) = sin²(x) – cos(x)
Hitung turunan kedua f”(π/4).
Jawab:
Pertama, kita perlu menghitung turunan pertama dari fungsi tersebut:
f'(x) = 2sin(x)cos(x) + sin(x)
Setelah itu, kita perlu menghitung turunan kedua dari f'(x):
f”(x) = 2cos²(x) – 2sin²(x) + cos(x)
Untuk menghitung nilai turunan kedua dari f”(π/4), kita dapat menggunakan rumus:
f”(π/4) = [f'(π/4 + h) – f'(π/4)]/h
Sebelumnya, kita harus menentukan nilai h terlebih dahulu. Dalam kasus ini, h dapat diambil dengan nilai yang sangat kecil, seperti 0.001.
Dengan menggunakan rumus tersebut, maka:
f”(π/4) = [f'(π/4 + 0.001) – f'(π/4)]/0.001
Setelah dilakukan perhitungan, maka:
f”(π/4) = 3.46
Jadi, nilai turunan kedua f”(π/4) adalah 3.46.
Kesimpulan
Menghitung turunan tingkat tinggi bukanlah tugas yang mudah, terutama bagi siswa yang sedang mempelajari materi ini. Namun, dengan memahami rumus dan aturan pada turunan tingkat tinggi serta menguasai teknik perhitungan turunan, kita dapat menyelesaikan contoh soal turunan tingkat tinggi dengan efektif dan efisien.
