infokemendikbud.com Info Kemendikbud
Selamat datang pembaca! Di artikel kali ini, kita akan membahas mengenai jenis-jenis permutasi. Permutasi merupakan salah satu topik penting dalam matematika, yang sering digunakan dalam berbagai macam soal dan aplikasi. Di dalam permutasi, terdapat beberapa jenis yang perlu kita ketahui. Mulai dari permutasi sederhana hingga permutasi dengan pengkondisian. Mari kita bahas satu per satu dan temukan bagaimana cara menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari. Berikut adalah gambar terpilih untuk artikel ini. 
Apa Itu Jenis Permutasi?
Permutasi adalah sebuah konsep dalam matematika yang digunakan untuk menghitung banyaknya cara penyusunan objek tanpa mengabaikan urutan. Adapun jenis permutasi meliputi:
Permutasi Sederhana
Permutasi sederhana adalah jenis permutasi dimana semua elemen atau unsur yang terlibat harus diatur dengan cara tertentu. Contohnya, jika terdapat tiga buah bola yang berbeda warna, yaitu merah, kuning, dan biru, maka permutasi sederhana dari ketiga bola tersebut adalah:
1. Merah, kuning, biru
2. Merah, biru, kuning
3. Kuning, merah, biru
4. Kuning, biru, merah
5. Biru, merah, kuning
6. Biru, kuning, merah
Permutasi dengan Pengulangan
Permutasi dengan pengulangan adalah jenis permutasi dimana sejumlah objek yang sama dapat terlibat lebih dari satu kali dalam satu susunan. Contohnya, sebuah kata “MATHEMATIKA” memiliki sejumlah huruf yang sama, sehingga akan ada beberapa kemungkinan permutasi, yaitu:
1. AAAEMHIKMTT
2. AAEMHIMKTT
3. AEMHIMKATT
4. EIMHMATTAK
5. EMHIKMTTAA
Permutasi dengan Pemilihan
Permutasi dengan pemilihan adalah jenis permutasi dimana hanya sebagian objek yang terlibat dalam satu susunan. Contohnya, jika terdapat enam buah buku dan hanya tiga buku yang akan diletakkan dalam sebuah rak, maka permutasi dengan pemilihan dari enam buku tersebut adalah:
1. ABC
2. ABD
3. ABE
4. ABF
5. ACG
Cara Menghitung Jenis Permutasi
Untuk menghitung jenis permutasi, kita dapat menggunakan rumus yang berbeda sesuai dengan jenis permutasinya.
Untuk permutasi sederhana, rumusnya adalah:
n! = n x (n-1) x (n-2) x … x 2 x 1
Untuk permutasi dengan pengulangan, rumusnya adalah:
n^r
Sedangkan untuk permutasi dengan pemilihan, rumusnya adalah:
n! / (n-r)!
Dalam rumus-rumus tersebut, n merupakan jumlah elemen atau unsur yang terlibat, sedangkan r merupakan jumlah elemen atau unsur yang akan diatur.
Dalam matematika, permutasi juga sering dihubungkan dengan kombinatorik dan probabilitas. Dalam kombinatorik, permutasi digunakan untuk menghitung jumlah cara penyusunan objek dengan urutan tertentu, sedangkan dalam probabilitas, permutasi digunakan untuk menghitung peluang atau kemungkinan terjadinya suatu kejadian dari sejumlah objek yang diacak atau ditentukan dengan urutan tertentu.
Sebagai kesimpulan, permutasi adalah sebuah konsep matematika yang berhubungan dengan penyusunan atau pengaturan objek dengan suatu cara tertentu. Jenis-jenis permutasi meliputi permutasi sederhana, permutasi dengan pengulangan, dan permutasi dengan pemilihan. Untuk menghitung jenis permutasi, kita dapat menggunakan rumus yang berbeda sesuai dengan jenis permutasinya.
Jenis-Jenis Permutasi
Permutasi merupakan cabang matematika yang mempelajari cara mengatur sebuah himpunan. Himpunan sendiri dapat berupa objek maupun bilangan. Istilah permutasi berasal dari bahasa Latin permutare yang artinya mengganti. Ada banyak jenis permutasi yang dapat dipelajari dalam matematika, di antaranya yaitu permutasi umum dan permutasi siklis.
Permutasi Umum
Permutasi umum adalah salah satu jenis permutasi yang memperlihatkan cara mengatur objek atau angka dengan memperhitungkan setiap kemungkinan. Permutasi umum seringkali disebut sebagai permutasi siklis penuh atau permutasi lengkap. Dalam jenis permutasi ini, urutan bilangan atau objek sangat penting dalam menentukan permutasinya. Sebagai contoh, jika terdapat 3 bola merah dan 2 bola biru, maka permutasi bilangan keseluruhan yang mungkin bisa terbentuk dari bola tersebut adalah 60 buah, yaitu:
3 2 1 5 4, 3 1 2 5 4, 3 1 5 2 4, 3 1 5 4 2, 3 2 1 4 5, 3 2 5 1 4, dan seterusnya. Jumlah permutasi bilangan yang bisa terbentuk dari bola-bola tersebut adalah 60 buah yang dihitung dengan rumus n!/(n-r)!, di mana n adalah jumlah bola dan r adalah jumlah bola yang akan diambil.
Permutasi Siklis
Permutasi siklis adalah salah satu jenis permutasi yang digunakan dalam matematika untuk mempermudah dan mempercepat perhitungan. Permutasi siklis juga dikenal dengan nama permutasi singkat atau permutasi siklik. Dalam jenis permutasi ini, urutan bilangan atau objek tidak terlalu penting dalam menentukan permutasinya.
Pada permutasi siklis, suatu bentuk permutasi dapat dinyatakan dalam susunan siklus. Seiring dengan waktu, nama ini diubah menjadi bentuk matriks dari suatu permutasi, namun bentuk aslinya tetap sama. Permutasi siklus banyak digunakan dalam pelajaran matematika dan dalam pemrograman komputer. Contohnya, permutasi siklus pada lima bilangan adalah:
(1), (2), (3), (4), (5)
(1 2), (3), (4), (5)
(1 3), (2), (4), (5)
(1 4), (2), (3), (5)
(1 5), (2), (3), (4)
(1 2 3), (4), (5)
(1 2 4), (3), (5)
(1 2 5), (3), (4)
(1 3 2), (4), (5)
Permutasi siklis juga memiliki rumus penghitungan sendiri, yaitu n!/k1!k2!k3!…kn!, di mana n adalah jumlah bilangan atau objek, sementara k1, k2, k3, …kn adalah jumlah siklus dalam permutasi tersebut.
Dalam membuat permutasi, terdapat beberapa teknik yang dapat diterapkan agar lebih mudah dan efektif. Salah satu tekniknya adalah dengan menggunakan diagram siklus atau tabel siklus. Diagram siklus sangat berguna dalam membuat permutasi siklis, karena dengan diagram ini bisa dilihat secara visual bagaimana suatu permutasi dapat dikembangkan dan disusun.
Jadi, itulah penjelasan mengenai jenis-jenis permutasi dalam matematika. Semoga artikel ini dapat membantu Anda memahami permutasi lebih dalam.
Permutasi Siklis
Permutasi siklis adalah salah satu bentuk permutasi yang cukup populer dan sering digunakan. Permutasi siklis mengatur unsur-unsur yang teratur secara berurutan dan ditemukan dalam suatu lingkaran. Ketika unsur-unsur tersebut dipindahkan ke posisi lain, maka susunan mereka akan membentuk siklus.
Contoh permutasi siklis adalah sebagai berikut: terdapat 4 unsur, yaitu A, B, C, dan D, yang akan diatur dalam sebuah siklus. Maka susunan permutasi siklis tersebut adalah:
(A B C D)
(B C D A)
(C D A B)
(D A B C)
Dari keempat susunan tersebut, terlihat bahwa masing-masing unsur dipindahkan ke posisi selanjutnya dan membentuk siklus yang berbeda-beda. Siklus pertama terdiri dari empat unsur dalam satu siklus, siklus kedua terdiri dari empat unsur dalam tiga siklus, siklus ketiga terdiri dari empat unsur dalam dua siklus, sedangkan siklus keempat terdiri dari empat unsur dalam empat siklus.
Permutasi siklis juga dapat digunakan dalam beberapa contoh permasalahan, terutama dalam menghitung kemungkinan hasil dari suatu urutan kejadian. Misalnya, terdapat 3 peserta dalam sebuah lomba lari, dan harus dihitung berapa cara untuk menentukan pemenang, runner-up, dan juara ketiga. Jika dihitung dengan menggunakan permutasi siklis, maka jumlah kombinasi yang mungkin adalah 3! = 6, karena pada setiap posisi yang terdapat dalam siklus, terdapat 3 pilihan yang dapat dipilih.
Permutasi siklis juga dapat digunakan untuk menghitung jumlah cara yang mungkin dalam mendudukkan beberapa orang pada beberapa kursi yang disediakan. Misalnya, terdapat 5 orang yang akan duduk pada 5 kursi yang disediakan. Jumlah kombinasi yang mungkin dengan menggunakan permutasi siklis adalah 5! = 120. Namun, jika salah satu orang harus duduk di kursi tertentu, maka jumlah kombinasi yang mungkin adalah 4! = 24.
Permutasi siklis memiliki karakteristik yang memudahkan dalam menghitung jumlah kemungkinan hasil dari suatu permasalahan. Oleh karena itu, permutasi siklis cukup sering digunakan dalam matematika, statistik, maupun ilmu komputer.
Rumus Permutasi
Permutasi adalah sebuah istilah yang digunakan dalam teori bilangan kombinatorik. Permutasi merujuk pada banyaknya cara untuk mengatur atau memilih sekelompok objek. Objek yang diatur dapat berupa bilangan, huruf, warna, ataupun barang lainnya.
Dalam teori kombinatorik, permutasi memiliki beberapa jenis. Oleh karena itu, jenis-jenis permutasi ini perlu dipahami guna menyelesaikan berbagai permasalahan mengenai pengaturan atau pemilihan objek. Berikut ini adalah jenis-jenis permutasi:
Permutasi Tanpa Pengembalian (nPr)
Permutasi tanpa pengembalian (nPr) adalah salah satu jenis permutasi yang memperhatikan urutan dalam pengambilan unsur. Artinya, setiap unsur yang diambil tidak akan dikembalikan ke himpunan asal sebelum memilih unsur berikutnya. Rumus perhitungannya sebagai berikut:
nPr = n!/(n-r)!, di mana n adalah total unsur yang tersedia dan r adalah jumlah unsur yang diambil atau diatur.
Misalnya, terdapat 5 anak muda yang ingin mengambil dua dari tiga buku yang ada di perpustakaan. Berapa banyak kemungkinan susunan perpustakaan yang mereka dapatkan?
Untuk menghitungnya kita dapat menggunakan rumus permutasi tanpa pengembalian:
nPr = n!/(n-r)! = 3!/(3-2)! = 3!/(1!) = 6
Jadi, terdapat 6 kemungkinan susunan perpustakaan yang mereka dapatkan.
Permutasi Dengan Pengembalian (n^r)
Permutasi dengan pengembalian (n^r) adalah jenis permutasi yang memperhatikan urutan dalam pengambilan unsur. Artinya, setiap unsur yang diambil akan dikembalikan ke himpunan asal sebelum memilih unsur berikutnya. Rumus perhitungannya sebagai berikut:
n^r, di mana n adalah total unsur yang tersedia dan r adalah jumlah unsur yang diambil atau diatur.
Misalnya, terdapat 5 orang siswa SMA yang dapat memilih baju seragam dengan warna biru atau putih. Berapa banyak kemungkinan kombinasi pakaian yang mereka dapatkan jika mereka ingin memakai pakaian selama 3 hari tanpa aturan penggunaan yang sama?
Untuk menghitungnya, kita dapat menggunakan rumus permutasi dengan pengembalian:
n^r = 2^3 = 8
Jadi, terdapat 8 kemungkinan kombinasi pakaian selama 3 hari untuk kelima siswa SMA tersebut.
Permutasi Siklis (n-1)!
Permutasi siklis (n-1)! adalah jenis permutasi yang memperhatikan urutan dalam pengambilan unsur. Artinya, setiap unsur yang diambil akan dikembalikan ke himpunan asal, namun harus memenuhi syarat tertentu. Syarat ini adalah bahwa salah satu unsur dari himpunan asal selalu menempati satu posisi tertentu. Rumus perhitungannya sebagai berikut:
(n-1)!, di mana n adalah total unsur yang tersedia.
Misalnya, terdapat 5 orang yang ingin duduk pada 5 bangku yang bersebelahan. Namun, salah satu orang tersebut harus duduk di bangku tengah. Berapa banyak kemungkinan susunan tempat duduk yang mereka dapatkan?
Untuk menghitungnya, kita dapat menggunakan rumus permutasi siklis:
(n-1)! = 4! = 24
Jadi, terdapat 24 kemungkinan susunan tempat duduk untuk kelima orang tersebut dengan syarat salah satu orang duduk di bangku tengah.
Permutasi Dengan Pengulangan
Permutasi dengan pengulangan adalah jenis permutasi yang memperhatikan urutan dalam pengambilan unsur. Artinya, setiap unsur yang diambil akan dikembalikan ke himpunan asal sebelum memilih unsur berikutnya. Selain itu, unsur yang diambil bisa terdiri dari unsur yang sama. Rumus perhitungannya sebagai berikut:
n^r, di mana n adalah total unsur yang tersedia dan r adalah jumlah unsur yang diambil atau diatur.
Misalnya, terdapat 4 bola yang terdiri dari 2 bola warna biru dan 2 bola warna merah. Berapa banyak kemungkinan susunan permutasi bola yang dapat terjadi?
Untuk menghitungnya, kita dapat menggunakan rumus permutasi dengan pengulangan:
n^r = 4^2 = 16
Jadi, terdapat 16 kemungkinan susunan permutasi bola yang dapat terjadi dengan 2 bola warna biru dan 2 bola warna merah.
Dengan memahami jenis-jenis permutasi di atas, maka Anda dapat menyelesaikan berbagai permasalahan mengenai pengaturan atau pemilihan objek yang dihadapkan.
