infokemendikbud.com Info Kemendikbud Contoh Soal dan Pembahasan
1. Jika x + y = 5 dan xy = 6, tentukan nilai dari x dan y.
Kita dapat menggunakan teknik substitusi untuk menyelesaikan persamaan ini. Dengan substitusi x = 5 – y, kita dapat menyelesaikan persamaan sebagai berikut:
(5 – y)y = 6
5y – y^2 = 6
-y^2 + 5y – 6 = 0
Pemfaktoran dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan ini. Faktor dari -6 yang memiliki selisih 5 adalah -2 dan 3, sehingga:
-y^2 + 5y – 6 = (-y+3)(y-2) = 0
Dengan mengatur masing-masing faktor menjadi nol, kita mendapatkan y = 3 atau y = 2.
Substitusi kembali ke persamaan x + y = 5, kita mendapatkan:
x + 3 = 5 atau x + 2 = 5
yang menghasilkan x = 2 atau x = 3. Jadi, nilai dari x dan y adalah (2, 3) atau (3, 2).
2. Tentukan semua solusi nyata dari persamaan x^2 – 6x + 10 = 0.
Persamaan ini dapat diselesaikan dengan menggunakan bilangan kompleks. Kita pertama-tama dapat mencari nilai diskriminan D = b^2 – 4ac, sehingga:
D = (-6)^2 – 4(1)(10) = 36 – 40 = -4
Nilai diskriminan yang negatif menandakan bahwa persamaan ini tidak memiliki akar nyata. Namun, kita masih dapat menemukan solusi menggunakan bilangan kompleks.
Kita dapat menulis x^2 – 6x + 10 sebagai:
x^2 – 6x + 10 = (x – 3)^2 – 1
Dengan melakukan substitusi y = x – 3, maka persamaan menjadi:
y^2 – 1 = 0
Kita dapat mengambil akar kuadrat dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan:
y = ±1
Jadi, solusi untuk persamaan x^2 – 6x + 10 = 0 adalah:
x – 3 = ±1
x = 3 ± 1
x = 2 atau x = 4
Jadi, nilai dari x adalah 2 atau 4.
3. Tentukan semua solusi nyata dari persamaan x^3 – 3x^2 + 3x – 1 = 0.
Salah satu solusi untuk persamaan ini adalah x = 1. Hal ini dapat terlihat dengan mengamati bahwa koefisien dari x^3 dan x^0 adalah 1 dan -1, secara berurutan.
Kita dapat membagi persamaan ini dengan x – 1, sehingga:
(x – 1)(x^2 – 2x + 1) = 0
Hasil dari faktorisasi ini adalah persamaan kuadrat dengan solusi x = 1. Oleh karena itu, kita dapat memfaktorkan kembali x^2 – 2x + 1 sebagai:
x^2 – 2x + 1 = (x – 1)^2 = 0
Solusi untuk persamaan kuadrat ini adalah x = 1. Dengan demikian, semua solusi dari persamaan asli adalah:
x = 1 (ganda) atau x^2 – 2x + 1 = 0
x = 1 (ganda) atau x = 1 – 1 = 0
Jadi, semua solusi untuk persamaan x^3 – 3x^2 + 3x – 1 = 0 adalah x = 1 (tiga kali) atau x = 0.
