infokemendikbud.com Info Kemendikbud
Selamat datang para pembaca! Kali ini, kita akan membahas tentang persamaan kuadrat dan bagaimana cara menyelesaikannya dengan melengkapkan kuadrat sempurna. Persamaan kuadrat merupakan salah satu materi penting dalam bidang matematika, terutama bagi siswa SMA atau mahasiswa yang mempelajari ilmu teknik dan sains. Namun, seringkali masalah muncul saat harus menyelesaikan persamaan kuadrat yang rumit. Oleh karena itu, melengkapkan kuadrat sempurna bisa menjadi alternatif pilihan untuk menyelesaikan masalah tersebut. Simak artikel ini sampai habis ya!
Pengertian Persamaan Kuadrat
Sebelum mempelajari cara menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna, penting untuk memahami pengertian persamaan kuadrat itu sendiri. Persamaan kuadrat adalah persamaan matematika yang memiliki bentuk ax² + bx + c = 0, di mana x adalah variabel dan a, b, dan c adalah konstanta bilangan riil.
Bilangan a tidak boleh sama dengan 0 karena membagi dengan nol tidak dapat dilakukan. Variabel x mewakili nilai yang ingin kita cari dan koefisien b dan c adalah bilangan tetap atau konstanta. Tugas kita adalah menentukan nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut.
Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Salah satu cara menyelesaikan persamaan kuadrat adalah dengan teknik melengkapkan kuadrat sempurna. Melengkapkan kuadrat sempurna adalah proses mengubah bentuk persamaan kuadrat dengan cara menambahkan atau mengurangi nilai yang sama dari kedua sisi persamaan menjadi bentuk yang dapat diselesaikan dengan mudah.
Untuk melengkapkan kuadrat sempurna, ada beberapa langkah yang perlu diikuti, yaitu:
Langkah 1: Identifikasi nilai a, b, dan c pada persamaan kuadrat
Sebelum melakukan melengkapkan kuadrat sempurna, pastikan bahwa persamaan kuadrat sudah dalam bentuk kanonikax² + bx + c= 0. Kemudian, identifikasi nilai a, b, dan c pada persamaan tersebut.
Langkah 2: Translation b ke dalam bentuk pecahan rasio
Selanjutnya, translation b ke dalam bentuk pecahan rasio dengan cara membagi nilai b dengan dua kali nilai a. Hasil pembagian tersebut dinamakan pecahan rasio. Contohnya, jika nilai b = 6 dan nilai a = 3, maka pecahan rasionya adalah:
Langkah 3: Melengkapkan kuadrat sempurna pada x² dan x
Setelah mendapatkan nilai pecahan rasio, langkah selanjutnya adalah dengan melengkapkan kuadrat sempurna pada x² dan x. Bentuk kuadrat sempurna pada x adalah (x+ pecahan rasio )².
Langkah 4: Tambahkan atau kurangkan nilai yang sama pada kedua sisi persamaan
Setelah memiliki kuadrat sempurna, baik pada x maupun biji x, langkah berikutnya adalah menambahkan atau mengurangi nilai yang sama pada kedua sisi persamaan. Nilai yang sama ini didapatkan dengan mengkuadratkan pecahan rasio. Misalnya, jika pecahan rasio adalah 1, maka nilai yang harus ditambahkan atau dikurangkan adalah 1² = 1.
Langkah 5: Selesaikan persamaan
Setelah melakukan melengkapkan kuadrat sempurna dan menambahkan atau mengurangi nilai yang sama pada kedua sisi persamaan, maka persamaan menjadi x² + pecahan rasio x + (pecahan rasio)² = C. Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan mudah, dengan meningkatkan atau menurunkan nilai C agar sesuai dengan persamaan kuadrat yang diberikan.
Contoh Kasus
Berikut adalah contoh kasus untuk menerapkan melengkapkan kuadrat sempurna:
1. Selesaikan persamaan kuadrat 2x² – 4x + 3 = 0 dengan melengkapkan kuadrat sempurna.
Langkah 1: Identifikasi nilai a, b, dan c pada persamaan kuadrat
Pada persamaan kuadrat 2x² – 4x + 3 = 0, nilai a = 2, nilai b = -4, dan nilai c = 3.
Langkah 2: Translation b ke dalam bentuk pecahan rasio
Translation b pada persamaan tersebut adalah:
Langkah 3: Melengkapkan kuadrat sempurna pada x² dan x
Dengan melakukan proses melengkapkan kuadrat sempurna, maka didapatkan:
2x² – 4x + 3 = 0 menjadi 2(x – 1)² + 1 = 0
Langkah 4: Tambahkan atau kurangkan nilai yang sama pada kedua sisi persamaan
Nilai yang harus ditambahkan atau dikurangkan adalah (1/2)² = 1/4.
2(x – 1)² + 1 – 1/4 = 0 + 1/4
2(x – 1)² + 3/4 = 1/4
Langkah 5: Selesaikan persamaan
2(x – 1)² = -1/2
(x – 1)² = -1/4
x – 1 = ± i/2
x = 1 ± i/2
Dengan begitu, solusi dari persamaan kuadrat adalah x = 1 + i/2 dan x = 1 – i/2.
Itulah cara menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna. Agar lebih memahami materi ini, lakukanlah latihan soal sebagai berikut.
Cara Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Menyelesaikan persamaan kuadrat merupakan pelajaran penting dalam matematika yang harus diketahui. Salah satu metode menyelesaikan persamaan kuadrat yaitu dengan melengkapkan kuadrat sempurna.
Langkah awal dalam melengkapkan kuadrat sempurna adalah dengan membuka tanda kurung pada bentuk ax² + bx yang ingin diolah. Setelah itu, hitunglah nilai b/2a. Nilai ini nantinya akan digunakan untuk menyusun persamaan kuadrat sempurna.
Langkah kedua adalah dengan menyusun persamaan ax² + bx dengan bentuk (a(x + b/2a)² – (b²/4a)). Untuk menyusun bentuk tersebut, hitunglah terlebih dahulu nilai (b²/4a). Kemudian, selipkan operator pengurangan (-) setelah bentuk pangkat dua dan tambahkan nilai (b²/4a) ke dalam kurung.
Contoh:
x² + 6x
Langkah 1:
b = 6
2a = 2×1 = 2
b/2a = 6/2 = 3
Langkah 2:
x² + 6x = (x + 3)² – 9
Setelah persamaan kuadrat telah dilengkapkan, kita dapat menyelesaikannya dengan mudah. Persamaan tersebut kemudian dapat disederhanakan dengan memasukkan bentuk (x + b/2a) ke dalam kurung pangkat dua dan mengurangi nilai (b²/4a) dari keseluruhan persamaan.
Contoh:
x² + 6x = (x + 3)² – 9
x² + 6x + 9 – 9 = (x + 3)² – 9 + 9
x² + 6x + 9 = (x + 3)²
(x + 3)² = x² + 6x + 9
Setelah persamaan kuadrat diubah menjadi bentuk (x + b/2a)², kita dapat menentukan akar-akar dari persamaan tersebut dengan mudah. Akar-akar dapat ditemukan dengan menghilangkan kurung pangkat dua dari bentuk (x + b/2a)² dan menyelesaikan persamaan sebagai persamaan linier sederhana.
Contoh:
(x + 3)² = x² + 6x + 9
x² + 6x + 9 = x² + 6x + 9
(x + 3) = 0
x = -3
Dari persamaan x² + 6x, ditemukan akar-akar persamaan tersebut yaitu -3.
Metode melengkapkan kuadrat sempurna ini terbilang mudah dan cepat untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Metode ini juga dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan koefisien variabel yang tidak sama dengan 1.
Sekarang, Anda sudah tahu bagaimana melengkapkan kuadrat sempurna dengan benar. Dengan menerapkan langkah-langkah ini, Anda bisa lebih mudah dan cepat menyelesaikan persamaan kuadrat. Jangan lupa untuk berlatih terus dan mengecek kembali hasil perhitungan Anda. Semoga bermanfaat!
Contoh Soal Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat merupakan salah satu topik penting dalam matematika. Persamaan ini seringkali dipakai dalam berbagai macam perhitungan fisika dan matematika, seperti dalam menghitung arus listrik, kecepatan mobil, dan sebagainya. Dalam menyelesaikan persamaan kuadrat, salah satu metode yang bisa digunakan adalah dengan melengkapkan kuadrat. Contoh soal persamaan kuadrat melengkapkan kuadrat adalah seperti berikut:
1. Selesaikan persamaan kuadrat berikut: x² – 10x + 24 = 0.
Pada persamaan di atas, koefisien a = 1, koefisien b = -10, dan koefisien c = 24. Untuk menyelesaikan persamaan ini dengan metode melengkapkan kuadrat, langkah yang harus diambil adalah sebagai berikut:
Langkah 1: Tentukan koefisien a, b, dan c pada persamaan kuadrat.
Dengan membandingkan persamaan kuadrat yang diberikan dengan rumus umum persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, diperoleh koefisien a = 1, koefisien b = -10, dan koefisien c = 24.
Langkah 2: Hitung nilai yang harus ditambahkan dan dikurangkan pada persamaan kuadrat.
Untuk melengkapkan kuadrat, nilai yang harus ditambahkan dan dikurangkan pada persamaan ini adalah setengah dari koefisien b, yaitu (-10)/2 = -5. Setelah itu, nilai (-5)² = 25 ditambahkan dan dikurangkan pada persamaan sehingga menjadi :
x² – 10x + 24 + 25 – 25 = 0
x² – 10x + 49 – 25 = 0
x² – 10x + 24 = -24
Langkah 3: Sederhanakan persamaan kuadrat.
Persamaan kuadrat yang diperoleh dapat disederhanakan menjadi bentuk (x – 5)² = 1. Cara untuk menyederhanakan bentuk persamaan ini adalah dengan mengumpulkan semua konstanta di satu sisi dan menyimpan bentuk kuadrat yang lain di sisi lainnya.
Langkah 4: Selesaikan persamaan.
Akhirnya, untuk menyelesaikan persamaan kuadrat ini, kita perlu menjadikan bentuk x – 5 ke dalam bentuk bilangan positif dan negatif, yaitu:
x – 5 = √1 atau x – 5 = -√1
x = 5 + 1 atau x = 5 – 1
x = 6 atau x = 4
Jadi, solusi dari persamaan kuadrat x² – 10x + 24 = 0 adalah x = 6 atau x = 4.
2. Selesaikan persamaan kuadrat berikut: 2x² – 6x + 3 = 0.
Pada persamaan di atas, koefisien a = 2, koefisien b = -6, dan koefisien c = 3. Untuk menyelesaikan persamaan ini dengan metode melengkapkan kuadrat, langkah yang harus diambil adalah sebagai berikut:
Langkah 1: Tentukan koefisien a, b, dan c pada persamaan kuadrat.
Dengan membandingkan persamaan kuadrat yang diberikan dengan rumus umum persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, diperoleh koefisien a = 2, koefisien b = -6, dan koefisien c = 3.
Langkah 2: Hitung nilai yang harus ditambahkan dan dikurangkan pada persamaan kuadrat.
Untuk melengkapkan kuadrat, nilai yang harus ditambahkan dan dikurangkan pada persamaan ini adalah setengah dari koefisien b, yaitu (-6)/2 = -3. Setelah itu, nilai (-3)² = 9 ditambahkan dan dikurangkan pada persamaan sehingga menjadi :
2x² – 6x + 3 + 9 – 9 = 0
2x² – 6x + 12 – 9 = 0
2x² – 6x + 3 = -3
Langkah 3: Sederhanakan persamaan kuadrat.
Persamaan kuadrat yang diperoleh dapat disederhanakan menjadi bentuk 2(x – 1.5)² = 4. Cara untuk menyederhanakan bentuk persamaan ini adalah dengan mengumpulkan semua konstanta di satu sisi dan menyimpan bentuk kuadrat yang lain di sisi lainnya.
Langkah 4: Selesaikan persamaan.
Akhirnya, untuk menyelesaikan persamaan kuadrat ini, kita perlu menjadikan bentuk x – 1.5 ke dalam bentuk bilangan positif dan negatif, sehingga diperoleh:
x – 1.5 = √2 atau x – 1.5 = -√2
x = 1.5 + √2 atau x = 1.5 – √2
Jadi, solusi dari persamaan kuadrat 2x² – 6x + 3 = 0 adalah x = 1.5 + √2 atau x = 1.5 – √2.
Kelebihan Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Saat menyelesaikan persamaan kuadrat, banyak siswa yang merasa kesulitan dengan cara-cara biasa seperti faktorisasi, pemfaktoran balik, atau menggunakan rumus ABC. Metode melengkapkan kuadrat sempurna bisa jadi alternatif lain yang lebih mudah dan lebih cepat.
Salah satu kelebihan dari metode melengkapkan kuadrat sempurna adalah memudahkan penyelesaian persamaan kuadrat. Biasanya kita hanya memeriksa angka yang muncul di depan x^2, coba-coba membagi konstanta c oleh faktor yang pas, lalu mencoba mencari dua bilangan yang ketika dikalikan menghasilkan bilangan tersebut. Prosesnya dapat memakan waktu dan sedikit membingungkan, terutama jika kita belum memahami konsep matematika yang mendasar.
Dalam melengkapkan kuadrat sempurna, kita akan mengubah persamaan kuadrat yang sedang dikerjakan menjadi bentuk kuadrat yang sudah lengkap. Kita menyamakan koefisien x dengan satu, lalu menambahkan dan mengurangkan bilangan tertentu agar membentuk suatu kuadrat sempurna. Setelah itu, kita tinggal mencari akar-akar persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus umum atau metode faktorisasi.
Selain memudahkan, kelebihan lain dari melengkapkan kuadrat sempurna adalah dapat meningkatkan kemampuan penyelesaian persamaan kuadrat secara keseluruhan. Dengan memahami konsep dasar melengkapkan kuadrat sempurna, kita juga akan lebih mudah memahami konsep-konsep matematika yang lain seperti faktorisasi dan rumus ABC. Selain itu, kita juga dapat menjadi lebih cepat dalam menyelesaikan persamaan kuadrat sehingga dapat menghemat waktu saat mengerjakan soal matematika.
Namun, sebelum menggunakan metode melengkapkan kuadrat sempurna, kita perlu memastikan bahwa persamaan kuadrat yang akan diselesaikan memang dapat diselesaikan dengan metode ini. Beberapa persamaan kuadrat seperti x^2 + 1 = 0 tidak dapat diselesaikan secara riil. Oleh karena itu, kita perlu memeriksa diskriminan persamaan kuadrat yang kita kerjakan terlebih dahulu.
Cara Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Untuk melengkapkan kuadrat sempurna dari persamaan kuadrat dengan bentuk umum ax^2 + bx + c = 0, kita dapat mengikuti langkah-langkah berikut:
- Samakan koefisien x^2 dengan satu. Kita dapat melakukan ini dengan cara membagi seluruh persamaan dengan angka a.
- Hitung separuh dari koefisien x, yaitu b/2a.
- Tulis hasil dari langkah kedua di dalam tanda kurung, lalu pangkatkan bilangan tersebut. Hasilnya adalah b^2/4a^2. Jangan lupa sertakan tanda “+”, karena kita akan menambahkan dan mengurangkan bilangan ini di langkah berikutnya. Bentuk kuadrat ini adalah (x + b/2a)^2.
- Tambahkan dan kurangkan bilangan pada langkah tiga dari persamaan kuadrat asli. Dalam hal ini, kita menambahkan dan mengurangkan b^2/4a^2.
- Ubah persamaan ke dalam bentuk kuadrat sempurna. Kita sudah memiliki bentuk (x + b/2a)^2 – b^2/4a^2 + c = 0.
Jika langkah-langkah tersebut dilakukan dengan benar, maka persamaan kuadrat akan menjadi bentuk kuadrat sempurna. Kita dapat menyelesaikan persamaan kuadrat tersebut dengan menggunakan rumus umum atau menggunakan metode faktorisasi.
Contoh Soal
Misal kita ingin menyelesaikan persamaan kuadrat berikut:
3x^2 + 6x + 5 = 0
Langkah pertama adalah menyejajarkan koefisien x^2 dengan satu:
x^2 + 2x/3 + 5/3 = 0
Kemudian, kita hitung b/2a:
b/2a = 2/3
Selanjutnya, kita pangkatkan b/2a:
b^2/4a^2 = 1/9
Kita tambahkan dan kurangkan hasil pangkatan tadi dari persamaan kuadrat:
x^2 + 2x/3 + 1/3 – 1/3 + 5/3 = 0
Ubah bentuk persamaan kuadrat tersebut ke dalam bentuk kuadrat sempurna:
(x + 1/3)^2 + 4/9 = 0
Kita dapat mulai mencari akar-akar persamaan kuadrat tersebut:
(x + 1/3)^2 = -4/9
Karena tidak ada bilangan riil yang dapat dipangkatkan dua dan menghasilkan bilangan negatif, maka persamaan kuadrat di atas tidak memiliki akar riil.
Kesimpulan
Melengkapkan kuadrat sempurna adalah salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Kelebihan dari metode ini adalah memudahkan dan mempercepat proses penyelesaian persamaan kuadrat. Selain itu, dengan memahami konsep dasar melengkapkan kuadrat sempurna, kita juga akan lebih mudah memahami konsep-konsep matematika yang lain. Namun, sebelum menggunakan metode ini, kita perlu memastikan bahwa persamaan kuadrat yang akan diselesaikan dapat diselesaikan dengan metode ini.
Apa itu Persamaan Kuadrat?
Sebelum membahas tentang langkah-langkah melengkapkan kuadrat sempurna, mari kita ulas terlebih dahulu tentang persamaan kuadrat itu sendiri. Persamaan kuadrat adalah persamaan yang memiliki bentuk ax^2 + bx + c = 0, di mana x adalah variabel dan a, b, dan c adalah konstanta. Persamaan ini disebut sebagai persamaan kuadrat karena tingkat pangkat tertinggi dari variabel x adalah dua.
Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Melengkapkan kuadrat sempurna adalah teknik yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara menjadikan bentuk kuadrat dari suatu persamaan. Dalam hal ini, kita akan menggunakan konsep faktorisasi binomial, yaitu x + a dan x + b. Pertama-tama, kita harus membagi koefisien b dengan 2, kemudian hasilnya dipangkatkan untuk mendapatkan kuadrat dari setengah koefisien tersebut.
Misalnya, kita ingin menyelesaikan persamaan kuadrat x^2 + 6x + 8 = 0. Langkah pertama adalah dengan membagi koefisien b yaitu 6, dengan 2, sehingga diperoleh hasil 3. Selanjutnya, hasil ini dipangkatkan, sehingga diperoleh 9. Kita menambahkan 9 ke kedua sisi persamaan, sehingga menjadi x^2 + 6x + 9 + 8 – 9 = 0 + 9. Kita bisa mendapatkan bentuk kuadrat sempurna dengan mengelompokkan suku-suku yang memiliki variabel x, yaitu (x + 3)^2 – 1 = 9. Ini kemudian dapat disederhanakan menjadi (x + 3)^2 = 10. Dari sini, kita dapat menyelesaikan persamaan ini dengan menarik akar kuadrat dari kedua sisi, yaitu x + 3 = ± √10. Kemudian, kita dapat menyelesaikan persamaan tersebut dengan mengurangi atau menambahkan 3 pada kedua sisi, yaitu x = -3 ± √10.
Keuntungan Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Ada beberapa keuntungan dalam menggunakan teknik melengkapkan kuadrat sempurna untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Pertama-tama, teknik ini memungkinkan kita untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cepat dan mudah tanpa perlu mengerjakan faktorisasi atau menggunakan rumus kuadrat. Selain itu, teknik ini juga mempermudah kita dalam menemukan akar-akar persamaan, karena kita hanya perlu menarik akar kuadrat dari kedua sisi setelah mengelompokkan persamaan dalam bentuk kuadrat sempurna.
Batasan Penggunaan Teknik Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Meskipun teknik melengkapkan kuadrat sempurna sangat efektif dalam menyelesaikan persamaan kuadrat, ada beberapa batasan dalam penggunaannya. Salah satunya adalah ketika koefisien b dalam persamaan kuadrat tidak habis dibagi dua. Dalam hal ini, teknik ini mungkin tidak berguna dan kita harus menggunakan teknik lain seperti menggunakan rumus kuadrat atau faktorisasi.
Kesimpulan
Dalam menyelesaikan persamaan kuadrat, melengkapkan kuadrat sempurna dapat menjadi teknik yang sangat efektif dan mudah digunakan. Teknik ini memungkinkan kita untuk menyelesaikan persamaan dengan cepat dan mudah tanpa perlu mengerjakan faktorisasi atau menggunakan rumus kuadrat. Walaupun begitu, mengidentifikasi batasan penggunaan teknik ini juga sangat penting, karena dapat membantu kita dalam memilih teknik yang tepat dalam menyelesaikan persamaan kuadrat yang kompleks.
