infokemendikbud.com Info Kemendikbud Halo pembaca setia, kali ini kita akan membahas mengenai permutasi dengan beberapa unsur yang sama. Apa itu permutasi? Permutasi adalah pengaturan ulang elemen atau obyek dalam suatu set. Ketika obyek-obyek tersebut memiliki sifat yang berbeda-beda, permutasi menjadi lebih mudah untuk dilakukan. Namun, bagaimana jika beberapa unsur dalam set tersebut memiliki karakteristik yang sama? Yuk, simak penjelasannya!
Pendahuluan
Permutasi adalah salah satu bagian dari Matematika Diskrit yang mendefinisikan urutan atau susunan objek tertentu. Permutasi dengan beberapa unsur yang sama adalah salah satu jenis permutasi yang terdiri dari objek-objek yang sama di dalamnya. Dalam konteks ini, permutasi sangat berguna dalam memecahkan berbagai masalah matematika dan non-matematika. Misalnya, dalam menghitung peluang terjadinya suatu kejadian atau dalam membuat password yang unik dan aman untuk akun online kita.
Definisi Permutasi dengan Beberapa Unsur yang Sama
Permutasi dengan beberapa unsur yang sama adalah susunan objek yang sama, tetapi terdapat beberapa objek yang identik dalam himpunan tersebut. Dalam hal ini, permutasi dengan beberapa unsur yang sama mengikuti aturan dasar permutasi dengan jumlah terbatas. Aturan dasar permutasi adalah rumus matematika yang digunakan untuk menghitung jumlah permutasi yang mungkin terjadi di dalam suatu himpunan, di mana setiap objek hanya digunakan satu kali.
Secara matematis, aturan dasar permutasi dapat ditulis sebagai:
P(n,r) = n! / (n-r)!
Dalam rumus di atas, n adalah jumlah objek yang tersedia di dalam himpunan, sedangkan r adalah jumlah objek yang ingin diambil. P(n,r) merupakan jawaban dari permutasi tersebut.
Namun, jika terdapat m unsur yang sama dalam himpunan n objek, maka permutasi yang mungkin hanya sebanyak:
P(n,m) = n! / (n-m)! x m!
Rumus di atas menghitung permutasi dengan tidak memperhitungkan objek-objek yang sama. Jadi, untuk menghitung permutasi dengan beberapa unsur yang sama, kita perlu membagi jumlah permutasi yang mungkin dengan jumlah permutasi untuk setiap objek yang sama.
Contoh Soal Permutasi dengan Beberapa Unsur yang Sama
Misalnya terdapat kata “MATEMATIKA” dan kita ingin menghitung jumlah kemungkinan susunan huruf yang berbeda dari kata tersebut.
1. Jika huruf “A” ditulis sebanyak 3 kali.
Jumlah permutasi untuk objek yang unik adalah 8. Sehingga, kita perlu membagi 5040 (jumlah permutasi tanpa memperhitungkan objek yang sama) dengan 3! untuk “A”, atau 6.
Hasilnya adalah 840. Ada 840 kemungkinan susunan huruf “MATEMATIKA” dengan 3 huruf A.
2. Jika huruf “M” ditulis 2 kali, dan huruf “A” ditulis 3 kali.
Maka jumlah permutasi untuk objek yang unik adalah 6. Sehingga, kita perlu membagi 5040 dengan 2! untuk “M” dan 3! untuk “A”.
Jadi, hasilnya adalah 840. Ada 840 kemungkinan susunan huruf “MATEMATIKA” dengan 2 huruf “M” dan 3 huruf “A.”
Kesimpulan
Permutasi dengan beberapa unsur yang sama adalah jenis permutasi di mana objek yang sama muncul dalam himpunan. Dalam kasus ini, kita harus membagi jumlah permutasi yang mungkin dengan jumlah permutasi untuk setiap objek yang sama. Dalam memecahkan masalah matematika dan non-matematika, permutasi dengan beberapa unsur yang sama sangat berguna.
Karakteristik Permutasi dengan Beberapa Unsur yang Sama
Saat kita membicarakan permutasi dengan beberapa unsur yang sama, kita tidak hanya membahas tentang kasus dimana setiap unsur hanya muncul satu kali dalam himpunan. Kita perlu membahas kasus dimana beberapa unsur memiliki kemiripan sehingga terjadi beberapa elemen yang sama di dalam himpunan tersebut.
Dalam hal ini, ada tiga karakteristik yang perlu diperhatikan saat membahas permutasi dengan beberapa unsur yang sama. Karakteristik tersebut meliputi:
1. Perulangan Unsur
Perulangan unsur adalah karakteristik dimana unsur dalam himpunan muncul lebih dari satu kali. Misalnya, dalam himpunan “ABAC”, karakter A muncul dua kali. Dalam permutasi, perulangan unsur memengaruhi jumlah kemungkinan permutasi yang muncul.
Sebagai contoh, jika kita ingin menentukan berapa banyak aransemen kata dalam himpunan “ABAC” jika tidak ada perulangan unsur, maka kita bisa menggunakan rumus permutasi sederhana yang dinyatakan sebagai:
nPr = n!/(n-r)!
Dimana n dalam rumus ini merepresentasikan jumlah unsur dan r merepresentasikan jumlah slot. Jika kita ingin menentukan berapa banyak cara untuk mengatur 4 unsur dalam himpunan ABAC, kita mencari 4P4:
4P4 = 4!/(4-4)! = 24/1 = 24
Namun, jika kita ingin menentukan berapa banyak aransemen kata dalam himpunan “ABAC” jika terdapat perulangan unsur, maka kita tidak bisa menggunakan rumus permutasi sederhana. Kita perlu menggunakan rumus khusus untuk permutasi dengan perulangan unsur.
Rumus untuk permutasi dengan perulangan unsur adalah:
n^r
Dimana n dalam rumus ini merepresentasikan jumlah unsur dan r merepresentasikan jumlah slot. Jika kita ingin menentukan berapa banyak cara untuk mengatur 4 unsur dalam himpunan ABAC, kita mencari 4^4:
4^4 = 256
2. Kombinasi Unsur
Kombinasi unsur adalah karakteristik dimana beberapa unsur dalam himpunan memiliki kemiripan sehingga sulit untuk membedakan satu unsur dengan unsur lainnya. Contohnya dalam himpunan “ABA”, sulit untuk membedakan antara unsur A pertama dan unsur A kedua.
Untuk menentukan berapa banyak aransemen kata dalam himpunan dengan kombinasi unsur, kita perlu menggunakan rumus permutasi dengan perulangan unsur dan membaginya dengan permutasi dari unsur yang mirip tersebut.
Sebagai contoh, jika kita ingin menentukan berapa banyak cara untuk mengatur 3 unsur dalam himpunan “ABA”, kita mencari:
3P3/2P2 = 6/2 = 3
Kita membagi 3P3 dengan 2P2 karena satu set A dalam himpunan “ABA” memiliki anggota yang mirip dengan anggota yang lainnya, sehingga perlu dihitung secara terpisah.
3. Pengaruh Arah Permutasi
Karakteristik selanjutnya yang perlu diperhatikan saat membahas permutasi dengan beberapa unsur yang sama adalah pengaruh arah permutasi. Ketika terdapat perulangan unsur, kita perlu memperhatikan cara kita menghitung aransemen kata yang berbeda.
Contohnya, dalam himpunan “AAB”, jika kita ingin menentukan berapa banyak cara untuk mengatur 3 unsur, maka kita mencari:
3P3/2!
Kita membagi jumlah dari 3P3 dengan 2! karena aspek pengaruh arah permutasi. Arah permutasi yang berbeda dari unsur yang mirip akan menghasilkan aransemen kata yang berbeda.
Dalam kasus ini, jumlah kemungkinan aransemen kata dalam himpunan “AAB” adalah:
3P3/2! = 3
Jadi, dalam suatu himpunan dengan beberapa unsur yang sama, karakteristik perulangan unsur, kombinasi unsur, dan pengaruh arah permutasi harus diperhatikan saat menentukan berapa banyak kemungkinan aransemen kata yang ada dalam himpunan tersebut.
Rumus permutasi dengan beberapa unsur yang sama
Permutasi adalah istilah dalam matematika yang digunakan untuk memperhitungkan jumlah variasi pengaturan yang mungkin dari sekelompok elemen. Permutasi dengan beberapa unsur yang sama adalah tipe permutasi yang terjadi ketika terdapat beberapa elemen yang sama dalam kelompok tersebut. Pada artikel ini, kita akan membahas lebih lanjut mengenai rumus permutasi dengan beberapa unsur yang sama.
Sebelum membahas rumusnya, pertama-tama mari kita mengingat kembali definisi permutasi. Permutasi adalah pengaturan elemen-elemen dalam sebuah himpunan tanpa perulangan atau pengurutan ulang. Permutasi dengan beberapa unsur yang sama dapat dibedakan menjadi dua jenis:
- Permutasi sederhana dengan beberapa unsur yang sama, yang mengacu pada pengaturan elemen-elemen dalam sebuah himpunan dengan dua atau lebih elemen yang sama.
- Permutasi berulang dengan beberapa unsur yang sama, yang mengacu pada pengaturan elemen-elemen dalam sebuah himpunan di mana setiap elemen memiliki lebih dari satu salinan.
Pada permutasi sederhana dengan beberapa unsur yang sama, rumus perhitungannya adalah:
n!/ (a! x b! x c! …)
Dimana :
- n adalah jumlah total elemen dalam himpunan
- a, b, c, … adalah jumlah elemen yang sama dalam kelompok tersebut
- ! menunjukkan faktorial
Sebagai contoh, jika kita memiliki himpunan dengan enam elemen, di mana dua elemen sama, maka jumlah permutasinya adalah:
6! / (2! x 4!) = 15
Sedangkan pada permutasi berulang dengan beberapa unsur yang sama, rumus perhitungannya adalah:
n^a x b^b x c^c …
Dimana :
- n adalah jumlah total elemen dalam himpunan
- a, b, c, adalah jumlah salinan dari elemen yang sama dalam kelompok tersebut
Sebagai contoh, jika kita memiliki himpunan dengan tiga elemen, di mana dua elemen sama, dan setiap elemen memiliki tiga salinan, maka jumlah permutasinya adalah:
3^2 x 3^2 x 3^1 = 243
Perlu diingat bahwa untuk menggunakan rumus permutasi dengan beberapa unsur yang sama, kita perlu mengetahui jumlah elemen yang sama dalam kelompok tersebut. Selain itu, penggunaannya dapat membantu kita untuk mencari berapa banyak variasi pengaturan yang mungkin dalam suatu situasi tertentu, seperti dalam perhitungan probabilitas atau statistik.
Contoh permutasi dengan beberapa unsur yang sama
Permutasi atau pengaturan adalah salah satu konsep matematika yang berguna untuk menyelesaikan persoalan seperti kombinasi kata-kata, peletakan peserta dalam suatu acara, menghitung jumlah kombinasi bunga, dan banyak lagi. Dalam permutasi, unsur-unsur yang berbeda diatur menjadi susunan yang berbeda. Namun, bagaimana jika ada beberapa unsur yang sama dalam permutasi? Berikut adalah contoh serta cara penyelesaian permutasi dengan beberapa unsur yang sama.
Permutasi dengan beberapa unsur yang sama dapat ditemukan di banyak situasi. Misalnya, ketika memperkirakan jumlah kemungkinan pesan yang dapat dibuat dengan mengandalkan semua huruf di “MATEMATIKA”, atau menghitung banyaknya cara merangkai lima huruf dari kata “HURUF”. Pada kedua kasus tersebut, tiap huruf memiliki beberapa pengulangan.
Ada dua jenis permutasi dengan beberapa unsur yang sama. Yang pertama adalah permutasi sederhana dengan beberapa unsur yang sama, di mana semua unsur-unsur yang disediakan sama-sama dianggap sebagai satu unsur, dan tidak dapat dibedakan satu sama lain.
Contoh permutasi sederhana dengan beberapa unsur yang sama adalah ketika kita diminta menghitung banyaknya cara mengatur huruf dalam kata “NIKO” menjadi sebuah kata dengan lima huruf. Jawabannya adalah 5 * 4 * 3 * 2 * 1, atau 120. Namun, angka ini meliputi pengurutan huruf yang sama, sehingga harus membagi angka ini dengan jumlah jenis huruf yang berbeda. Oleh karena itu, ada 2 huruf “N” dan 1 huruf “O” dalam kata “NIKO”, sehingga permutasi dengan beberapa unsur yang sama adalah 5! / (2! 1!) = 60, atau 60 cara mengatur 5 huruf tersebut menjadi sebuah kata dengan lima huruf.
Jenis permutasi kedua adalah permutasi di mana beberapa unsur yang sama dianggap sebagai elemen yang berbeda, dan dapat dibedakan satu sama lain sesuai posisi atau warna mereka. Contohnya adalah ketika kita diminta menghitung banyak cara mengatur 9 bola warna merah, hijau, dan biru dalam sebuah baris sehingga tidak ada dua bola merah yang bersebelahan.
Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, kita harus pertama-tama menghitung berapa banyak cara mengatur 9 bola tanpa batasan. Kita dapat memperoleh jawabannya menggunakan formula permutasi sederhana, yakni 9! / (3! 3! 3!). Namun, ini meliputi pengurutan di mana bola merah saling bersebelahan.
Kita dapat menyusunnya dengan cara berikut:
- Letakkan bola hijau dan biru di sepanjang baris, dapat dicatat bahwa ada 10 tempat untuk meletakkan bola merah (atau 9 celah antara bola hijau dan biru).
- Pilih 4 tempat yang akan ditempati oleh bola merah. Ini dapat dilakukan dengan formula kombinasi, yakni 10! / (4! 6!).
- Letakkan bola merah di empat tempat yang telah dipilih dengan cara yang berbeda-beda.
- Letakkan bola hijau dan biru di celah kosong secara bergantian.
Sehingga, tidak ada bola merah yang bersebelahan juga dilengkapi ketentuan permutasi pada unsur yang sama adalah (10! / (4! 6!)) x (4! / (2! 1! 1!)) = 15,120.
Semoga dengan contoh serta cara penyelesaian permutasi dengan beberapa unsur yang sama di atas, pembaca bisa lebih memahami konsep permutasi dengan unsur yang sama. Pastikan untuk selalu mengikuti aturan yang relevan untuk menjawab semua permasalahan.
Permutasi dengan Beberapa Unsur yang Sama
Permutasi adalah salah satu cabang matematika yang banyak diterapkan dalam kehidupan sehari-hari. Konsep permutasi sendiri merupakan pengaturan ulang suatu himpunan yang terdiri dari elemen-elemen yang berbeda. Namun, bagaimana dengan himpunan yang memiliki beberapa unsur yang sama? Apakah perhitungannya masih sama?
Jawabannya adalah, tidak. Karena unsur yang sama dapat menjadi penghalang dan memengaruhi jumlah permutasi yang mungkin dibuat. Oleh karena itu, penting bagi kita untuk memahami cara menghitung permutasi dengan beberapa unsur yang sama.
Sebelum kita memahami cara menghitungnya, mari kita tinjau kembali definisi permutasi. Permutasi atau pada beberapa buku sering juga disebut pemangkasan adalah pengaturan ulang dari beberapa objek berbeda yang akan menghasilkan susunan objek yang berbeda juga. Dalam persamaan matematika, permutasi dapat didefinisikan sebagai himpunan semua pengaturan dari n objek yang berbeda.
Sebagai contoh, misalkan kita memiliki tiga objek yang berbeda, yaitu A, B, dan C. Berapa banyak pengaturan yang mungkin dibuat untuk ketiga objek tersebut? Mari kita mencoba menghitungnya:
Ada 6 pengaturan yang mungkin dibuat dengan ketiga objek tersebut, yaitu ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, dan CBA.
Namun, bagaimana jika objek yang kita punya tidak semua berbeda? Misalnya, kita memiliki himpunan berikut: A, A, B. Berapa banyak pengaturan yang mungkin dibuat dari himpunan ini?
Jika kita menerapkan rumus untuk menghitung permutasi pada himpunan ini, maka terdapat 6 pengaturan yang mungkin dibuat, yaitu AAB, ABA, BAA, AAB, ABA, dan BAA. Namun, perhitungan tersebut salah. Mengapa?
Hal ini terjadi karena kita tidak dapat membedakan antara A yang pertama dengan A yang kedua. Oleh karena itu, kita sebenarnya hanya memiliki 3 pengaturan yang mungkin dibuat dari himpunan ini, yaitu AAB, ABA, dan BAA.
Jadi, bagaimana kita bisa menghitung permutasi dengan beberapa unsur yang sama? Kita dapat menggunakan rumus permutasi dengan duplikasi. Rumus ini berbeda dengan rumus permutasi pada umumnya karena menggunakan faktor yang disebut dengan faktor perulangan.
Rumus permutasi dengan duplikasi diberikan sebagai berikut:
Di mana n adalah jumlah objek dalam himpunan, k1 adalah jumlah objek pertama, k2 adalah jumlah objek kedua, dan seterusnya hingga km yang merupakan jumlah objek ke-m.
Misalnya, jika kita ingin menghitung permutasi dari himpunan A, A, A, B, B, maka jumlah objek dalam himpunan ini adalah 5, dengan k1 (jumlah A) sama dengan 3 dan k2 (jumlah B) sama dengan 2. Jadi, kita dapat menghitung permutasi dari himpunan ini sebagai berikut:
Hasil dari perhitungan ini adalah 60 pengaturan yang mungkin dibuat dari himpunan A, A, A, B, B.
Kesimpulan
Permutasi dengan beberapa unsur yang sama memainkan peranan penting dalam matematika dan kehidupan sehari-hari. Untuk menghitung permutasi dengan beberapa unsur yang sama, kita perlu menggunakan rumus permutasi dengan duplikasi. Penting bagi kita untuk benar-benar memahami konsep permutasi agar dapat menghitung dengan tepat dan efisien.
