infokemendikbud.com Info Kemendikbud Selamat datang Pembaca! Pernahkah Anda mendengar istilah permutasi? Permutasi adalah salah satu cabang matematika yang berhubungan dengan pengurutan suatu himpunan. Permutasi memiliki berbagai konsep dan rumus yang bisa diterapkan dalam berbagai situasi, salah satunya yaitu permutasi dengan unsur yang sama. Pada artikel ini, kita akan membahas secara mendalam tentang konsep permutasi dengan unsur yang sama beserta contoh soal yang bisa membantu memperjelas pemahaman Anda.
Pengertian Permutasi dengan Unsur yang Sama
Permutasi yang bersifat sederhana biasanya melibatkan pengaturan objek-objek yang berbeda. Contohnya adalah jika kita ingin mengatur 3 buah bola berbeda dalam urutan yang berbeda pula, maka jumlah permutasinya adalah 3x2x1 = 6 permutasi. Namun, jika objek yang digunakan sama atau identik satu sama lain, maka permutasinya akan berbeda. Maka dari itu, kita perlu menggunakan rumus permutasi dengan unsur yang sama.
Permutasi dengan unsur yang sama menggunakan rumus:
Pnk = n!/(n1! x n2! x … x nk!)
Perbedaan perhitungan permutasi dengan unsur yang sama adalah pada faktor pembagi dari permutasi dengan unsur yang sama, yaitu n1!, n2! dan seterusnya yang merujuk pada jumlah objek yang sama pada masing-masing kelompok. Misalnya, jika kita ingin menghitung berapa banyak cara mempermutasikan 4 buah bola dimana ada dua buah bola yang warnanya sama, maka permutasi dengan unsur yang sama yang digunakan adalah:
P42 = 4!/(2! x 1! x 1!) = 12
Jadi, terdapat 12 cara untuk mengatur 4 buah bola ketika dua buah bola yang warnanya sama.
Permutasi dengan unsur yang sama juga sering digunakan dalam perhitungan probabilitas. Contohnya dalam perhitungan peluang mengeluarkan warna tertentu dalam suatu set permainan kartu. Dalam perhitungan tersebut, kita harus memperhitungkan jumlah kartu dengan warna yang sama dan jumlah kartu lainnya dalam pembuatan permutasi.
Permutasi dengan unsur yang sama juga digunakan dalam perhitungan variasi warna dalam berbagai jumlah buah bunga, variasi warna dalam paket barang belanja dan banyak lagi.
Dalam perhitungan permutasi dengan unsur yang sama, yang perlu diingat adalah konsentrasi pada jumlah objek yang sama atau identik satu sama lain pada setiap kelompok permutasi. Dengan menggunakan rumus permutasi dengan unsur yang sama, kita dapat menghitung jumlah kemungkinan permutasi dalam kasus-kasus tertentu yang melibatkan objek-objek identik.
Fungsi dari Permutasi dengan Unsur yang Sama
Permutasi dengan unsur yang sama merupakan salah satu konsep penting dalam matematika, khususnya dalam ilmu kombinatorika. Rumus permutasi dengan unsur yang sama biasanya digunakan untuk menghitung banyaknya susunan atau pengaturan kata yang terdiri dari beberapa huruf yang sama, namun di-arrange dengan urutan yang berbeda.
Misalnya, jika kita memiliki kata ‘BANANAS’, kemudian ingin menghitung berapa banyak susunan huruf yang tersusun dengan benar dan urutan yang berbeda, maka kita bisa menggunakan rumus permutasi dengan unsur yang sama.
Dalam kasus ini, ada enam huruf yang sama, yaitu a (berjumlah tiga), n (berjumlah dua), dan s (berjumlah satu). Oleh karena itu, kita harus menggunakan rumus permutasi dengan unsur yang sama untuk menghitung banyaknya pengaturan kata ‘BANANAS’ dengan urutan yang berbeda.
Rumus Permutasi dengan Unsur yang Sama
Rumus permutasi dengan unsur yang sama adalah sebagai berikut:
P = n! / (n1! x n2! x … x nk!)
Keterangan:
– n = jumlah total unsur (huruf) dalam kata atau himpunan
– n1, n2, …, nk = jumlah unsur yang sama dalam kata atau himpunan
Contoh Soal dan Penyelesaian
Berikut adalah contoh soal tentang permutasi dengan unsur yang sama dan cara penyelesaiannya:
Contoh soal: Berapa banyak pengaturan kata dari kata ‘BANANAS’ dengan urutan yang berbeda?
Pertama, kita harus menghitung jumlah total unsur dalam kata ‘BANANAS’, yaitu 7. Kemudian, kita harus menghitung jumlah kata yang sama:
– a = 3
– n = 2
– s = 1
Maka, rumus permutasi dengan unsur yang sama menjadi:
P = n! / (n1! x n2! x … x nk!)
P = 7! / (3! x 2! x 1!)
P = 420
Jadi, terdapat 420 pengaturan kata dari kata ‘BANANAS’ dengan urutan yang berbeda.
Kesimpulan
Permutasi dengan unsur yang sama sangat berguna dalam menyelesaikan persoalan kombinatorika yang melibatkan penghitungan banyaknya pengaturan kata yang memiliki unsur yang sama. Rumus permutasi dengan unsur yang sama bisa digunakan untuk menghitung jumlah pengaturan kata dengan urutan yang berbeda dari sebuah himpunan kata atau huruf yang sama. Dengan menguasai konsep permutasi dengan unsur yang sama, kita dapat lebih mudah menyelesaikan persoalan matematika yang melibatkan himpunan kata atau huruf yang sama.
Rumus Permutasi dengan Unsur yang Sama
Permutasi dengan unsur yang sama terjadi ketika kita ingin menghitung berapa banyak cara untuk mengatur n unsur, di mana ada beberapa unsur yang sama di antara mereka. Dalam hal ini, rumus permutasi standar n! tidak dapat digunakan, karena tidak memperhitungkan unsur-unsur yang sama.
Untuk menghitung permutasi dengan unsur yang sama, kita dapat menggunakan rumus n!/(a!b!…z!), di mana n adalah jumlah total unsur, dan a, b, … z adalah banyaknya masing-masing unsur yang sama.
Contoh sederhana permutasi dengan unsur yang sama adalah menghitung banyaknya cara untuk mengatur huruf dalam kata “ANNA”. Kita dapat menggunakan rumus permutasi dengan unsur yang sama untuk menyelesaikan masalah ini.
Pertama, kita hitung jumlah total unsur dalam kata “ANNA”, yaitu 4. Selain itu, kita tahu bahwa ada 2 huruf “A” dan 2 huruf “N” di dalam kata tersebut. Oleh karena itu, kita dapat menggunakan rumus permutasi dengan unsur yang sama:
4!/(2!2!) = 6
Artinya, ada 6 cara yang berbeda untuk mengatur huruf dalam kata “ANNA”. Kita dapat memverifikasi hasil ini dengan membuat daftar semua kemungkinan susunan huruf:
- ANNA
- ANAN
- AANN
- NANA
- NAAN
- NNAA
Contoh di atas adalah kasus yang sederhana, di mana hanya ada dua jenis unsur yang sama. Namun, rumus permutasi dengan unsur yang sama dapat digunakan untuk menghitung situasi yang lebih kompleks, di mana ada banyak jenis unsur yang sama.
Sebagai contoh, pertimbangkan sebuah kata dengan 6 huruf, yaitu “BANANAS”. Kita ingin menghitung berapa banyak cara yang berbeda untuk mengatur huruf-huruf ini.
Pertama, kita hitung jumlah total unsur dalam kata tersebut, yaitu 7 (karena ada 7 huruf yang berbeda). Selanjutnya, kita perlu menemukan berapa banyak masing-masing unsur yang sama. Kita dapat membuat daftar sebagai berikut:
- 2 huruf “A”
- 1 huruf “B”
- 3 huruf “N”
- 1 huruf “S”
Dengan menggunakan rumus permutasi dengan unsur yang sama, kita dapat menghitung berapa banyak cara yang berbeda untuk mengatur huruf-huruf ini:
7!/(2!1!3!1!) = 420
Artinya, ada 420 cara yang berbeda untuk mengatur huruf-huruf dalam kata “BANANAS”.
Perlu diingat bahwa rumus permutasi dengan unsur yang sama hanya dapat digunakan ketika kita ingin menghitung berapa banyak cara yang berbeda untuk mengatur unsur-unsur yang sama. Jika kita ingin menghitung banyaknya kombinasi, kita perlu menggunakan rumus kombinasi dengan unsur yang sama, yang berbeda dari rumus permutasi dengan unsur yang sama.
Dalam semua kasus, penting untuk memperhatikan jumlah total unsur dan banyaknya masing-masing unsur yang sama, sehingga dapat menggunakan rumus yang tepat untuk menghitung permutasi atau kombinasi dengan unsur yang sama.
Permutasi dengan Unsur yang Sama
Permutasi adalah perhitungan matematis yang digunakan untuk menghitung banyaknya susunan atau pengaturan yang mungkin dari sejumlah unsur. Dalam permutasi, unsur yang digunakan memiliki ciri khas, yakni tidak saling menggantikan. Namun, bagaimana jika unsur-unsur tersebut memiliki sifat yang sama? Misalnya, kita memiliki kumpulan huruf yang terdiri dari satu atau beberapa jenis huruf yang sama dan hendak membuat pengaturan kata dari kombinasi unsur yang ada. Pada jenis permutasi ini, unsur tersebut disebut dengan permutasi dengan unsur yang sama.
Permutasi dengan unsur yang sama membutuhkan teknik penghitungan yang berbeda dari pada permutasi biasa. Perbedaannya terletak pada penghitungan jumlah kemunculan setiap unsur. Karena unsur yang sama memiliki jumlah kemunculan yang sama pula, maka teknik perhitungan yang digunakan harus memperhitungkan hal tersebut.
Contoh Soal Permutasi dengan Unsur yang Sama
Misalnya, terdapat 5 huruf A, 3 huruf B, dan 2 huruf C. Berapa banyak pengaturan kata yang dapat dibuat?
Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, kita dapat menggunakan rumus permutasi dengan unsur yang sama:
n!/ (n1! * n2! * … * nk!)
– n adalah total huruf yang akan disusun.
– n1, n2, …, nk adalah jumlah kemunculan dari setiap huruf dalam susunan.
Sehingga, untuk permasalahan di atas, kita dapat menghitung pengaturannya sebagai berikut :
total huruf (n) = 5+3+2 = 10
n1 (jumlah kemunculan huruf A) = 5
n2 (jumlah kemunculan huruf B) = 3
n3 (jumlah kemunculan huruf C) = 2
Plugging nilai tersebut ke dalam rumus permutasi dengan unsur yang sama, kita akan mendapatkan :
10! / (5! * 3! * 2!) = 1, 512, 000 / 720 * 6 * 2 = 1,680
Sehingga, terdapat 1680 pengaturan kata yang dapat dibuat dari kumpulan huruf tersebut.
Demikianlah rumus permutasi dengan unsur yang sama dapat diaplikasikan pada kasus apapun yang melibatkan perhitungan susunan dengan unsur yang sama.
Pengertian Permutasi dengan Unsur yang Sama
Permutasi dengan unsur yang sama adalah istilah pada bidang matematika yang digunakan untuk menghitung jumlah kemungkinan rangkaian yang muncul akibat dari pengaturan unsur-unsur yang sama tetapi berbeda urutan penempatannya. Dalam perhitungan permutasi, unsur-unsur tersebut dianggap identik, sehingga tidak mempengaruhi hasil permutasi.
Rumus Permutasi dengan Unsur yang Sama
Rumus permutasi dengan unsur yang sama dapat dinyatakan sebagai berikut:
n! / (n1! * n2! * … * nk!)
Dimana:
n adalah jumlah total unsur dalam permutasi
n1, n2, …, nk adalah jumlah masing-masing unsur yang berulang dalam permutasi
Contoh Soal Permutasi dengan Unsur yang Sama
Berikut contoh soal permutasi dengan unsur yang sama:
Jika terdapat 4 bola warna merah, 3 bola warna biru, dan 2 bola warna hijau, maka berapa banyak kemungkinan pengaturan bola-bola tersebut?
Penyelesaian:
Terlebih dahulu, kita tentukan nilai n, n1, n2, dan n3 seperti berikut:
n = 9 (jumlah total bola)
n1 = 4 (jumlah bola merah)
n2 = 3 (jumlah bola biru)
n3 = 2 (jumlah bola hijau)
Maka kemudian kita dapat menghitung hasil permutasi sebagai berikut:
9! / (4! * 3! * 2!) = 1260
Jadi, terdapat 1260 kemungkinan pengaturan bola-bola tersebut.
Kelebihan dan Kekurangan Penggunaan Permutasi dengan Unsur yang Sama
Penggunaan permutasi dengan unsur yang sama memiliki beberapa kelebihan dan kekurangan. Kelebihan utama adalah dapat membantu memudahkan perhitungan pada persoalan kombinatorika yang melibatkan unsur yang berulang. Rumusnya juga cukup mudah dan sederhana untuk dipahami. Namun, kelemahannya adalah tidak selalu cocok digunakan dalam semua situasi perhitungan kombinatorika, seperti saat terdapat unsur yang memiliki sifat yang lebih kompleks atau tidak sama antara satu dengan yang lainnya.
Contoh Penerapan Permutasi dengan Unsur yang Sama dalam Kehidupan Sehari-hari
Penerapan permutasi dengan unsur yang sama dapat ditemukan dalam banyak aspek kehidupan sehari-hari. Contohnya, dalam masalah menghitung jumlah kemungkinan susunan kata dengan huruf yang berulang. Misalnya, jika kita ingin menghitung jumlah kemungkinan susunan kata “MATEMATIKA”, maka perhitungan dapat dilakukan dengan menggunakan rumus permutasi dengan unsur yang sama.
Kesimpulan
Permutasi dengan unsur yang sama adalah istilah dalam matematika yang digunakan untuk menghitung jumlah kemungkinan rangkaian yang muncul akibat dari pengaturan unsur-unsur yang sama tetapi berbeda urutan penempatannya. Rumus perhitungan untuk permutasi dengan unsur yang sama adalah n! / (n1! * n2! * … * nk!). Penggunaannya sangat berguna dalam menyelesaikan persoalan kombinatorika yang melibatkan unsur yang berulang, namun tidak selalu cocok digunakan dalam semua situasi perhitungan kombinatorika.
