infokemendikbud.com Info Kemendikbud
Hai, pembaca yang tersayang! Apakah kalian pernah mendengar istilah permutasi? Permutasi adalah konsep matematika yang sangat penting dan sering kita temukan dalam kehidupan sehari-hari. Dalam ilmu matematika, permutasi adalah cara menghitung berapa banyak kemungkinan susunan yang bisa terbentuk dari suatu kumpulan objek. Misalnya, jika kita memiliki 3 buah bola yang berbeda warna, maka ada 6 kemungkinan susunan yang dapat terbentuk. Tertarik untuk mempelajari lebih lanjut mengenai permutasi? Simak terus artikel ini ya!
Pengertian Permutasi Matematika
Permutasi matematika merupakan salah satu teknik penghitungan kemungkinan susunan yang terdapat pada sekumpulan objek. Jadi, permutasi ini memberikan anda jawaban atas pertanyaan berapa banyak cara untuk mengatur objek-objek tersebut sehingga terbentuk susunan yang berbeda. Dengan kata lain, permutasi mempelajari cara menghitung susunan objek secara terurut dengan cara yang berbeda-beda.
Dalam permutasi, setiap objek harus mendapatkan tempatnya masing-masing dan harus saling berbeda satu sama lain. Jadi, dalam permutasi, posisi dan identitas setiap objek sangat penting. Sebagai contoh, jika kita memiliki tiga buah bola dengan warna yang berbeda, maka jumlah kemungkinan susunannya adalah enam, yaitu: merah-kuning-hijau, merah-hijau-kuning, kuning-merah-hijau, kuning-hijau-merah, hijau-merah-kuning, dan hijau-kuning-merah.
Rumus Permutasi
Ada dua rumus permutasi, yaitu permutasi sederhana dan permutasi dengan pengulangan. Permutasi sederhana merupakan penghitungan susunan objek yang tidak boleh sama dengan cara yang berbeda-beda, sedangkan permutasi dengan pengulangan adalah penghitungan susunan yang boleh sama dengan cara yang berbeda-beda.
Permutasi sederhana dihitung dengan rumus tersebut (n merupakan jumlah objek yang akan diatur):
n! = n x (n-1) x (n-2) …. x 3 x 2 x 1
Contohnya, jika kita memiliki empat buah kartu huruf A, B, C, dan D, maka jumlahnya akan ada 24 kemungkinan permutasi (4!).
Sementara itu, untuk permutasi dengan pengulangan, rumus yang digunakan adalah:
n^r
Dalam rumus tersebut, n merupakan jumlah objek yang akan diatur, dan r merupakan jumlah objek pada permutasi. Sebagai contoh, jika kita memiliki empat warna bola, dan ingin mengatur tiga bola, maka jumlah kemungkinan susunan bola akan ada 64 kemungkinan.
Contoh-Contoh Soal Permutasi
Untuk memahami konsep permutasi dengan lebih baik, berikut ini adalah beberapa contoh soal yang bisa disimak:
– Jika kita memiliki 5 buah bola dengan warna yang berbeda, berapa banyak kemungkinan susunan bola yang bisa dibuat?
Jawab: Berdasarkan rumus permutasi sederhana, kita dapat menghitung jumlah permutasi tersebut menjadi 120 kemungkinan susunan bola.
– Jika kita memiliki 3 buah bola dengan warna merah, setiap bola diberi nomor unik dari 1, 2 dan 3, dan kita ingin mengetahui berapa banyak kemungkinan susunan bola dengan nomor yang berbeda?
Jawab: Berdasarkan rumus permutasi sederhana, jumlah kemungkinan susunan bola adalah 6.
– Jika kita memiliki sebuah password dengan panjang 6 karakter yang terdiri dari huruf-huruf besar dan kecil, serta angka-angka dari 0 sampai dengan 9, berapa jumlah kemungkinan password yang ada?
Jawab: Berdasarkan rumus permutasi dengan pengulangan, jumlah kemungkinan password adalah 56,800,235,584.
Kesimpulan
Permutasi matematika merupakan salah satu teknik penghitungan kemungkinan susunan yang terdapat pada sekumpulan objek. Dalam permutasi, posisi dan identitas setiap objek sangat penting karena setiap objek harus mendapatkan tempatnya masing-masing dan harus saling berbeda satu sama lain. Ada dua rumus permutasi, yaitu permutasi sederhana dan permutasi dengan pengulangan. Permutasi sederhana menjadi penghitungan susunan objek yang tidak boleh sama dengan cara yang berbeda-beda, sedangkan permutasi dengan pengulangan adalah penghitungan susunan yang boleh sama dengan cara yang berbeda-beda.
Pengertian Permutasi Matematika
Permutasi matematika dapat dijelaskan sebagai cara menghitung jumlah kemungkinan susunan suatu objek tertentu dengan cara memperhatikan urutan item pada susunan tersebut. Permutasi dilakukan dengan menggunakan rumus khusus, yaitu n P r= n!/(n-r)! dengan n adalah jumlah total objek yang tersedia dan r adalah jumlah objek yang akan direkam.
Secara umum, permutasi digunakan untuk menghitung banyak kemungkinan susunan dari beberapa item yang berbeda. Penting untuk memperhatikan urutan item saat menghitung permutasi, karena susunan yang berbeda dapat menghasilkan jawaban yang berbeda pula.
Cara Menghitung Permutasi Matematika
Untuk menghitung permutasi matematika, terdapat beberapa rumus yang dapat digunakan. Berikut adalah contoh rumus-rumus permutasi yang sering digunakan dalam matematika:
Permutasi Sederhana
Permutasi sederhana adalah permutasi dimana seluruh objek yang tersedia digunakan untuk membangun susunan. Rumus untuk permutasi sederhana adalah n! (n faktorial), dimana n adalah jumlah total objek.
Permutasi dengan Pengulangan
Permutasi dengan pengulangan digunakan ketika beberapa objek terdiri dari beberapa elemen yang sama atau setidaknya sangat mirip. Rumus untuk permutasi dengan pengulangan adalah (n + r – 1)!/r!(n-1)!, dimana n adalah jumlah objek yang tersedia dan r adalah jumlah objek yang sama.
Permutasi dengan Kondisi
Permutasi dengan kondisi dilakukan ketika hanya beberapa objek tertentu yang digunakan untuk membangun susunan. Rumus untuk permutasi dengan kondisi adalah n P r= n!/(n-r)! dengan n adalah jumlah total objek yang tersedia dan r adalah jumlah objek yang akan direkam.
Contoh Soal Permutasi Matematika
Contoh Soal 1
Sebuah toko obat memiliki lima jenis obat yang akan disusun dalam etalase. Berapa jumlah permutasi susunan obat yang dapat dibuat?
Solusi:
n = 5 (jumlah obat yang tersedia)
r = 5 (jumlah obat yang harus direkam dalam susunan)
n P r = 5 P 5 = 5!/(5-5)! = 5! = 120
Jadi, terdapat 120 kemungkinan susunan dalam etalase tersebut.
Contoh Soal 2
Terdapat 8 pelajar yang akan duduk di bangku yang tersedia di dalam kelas. Berapa banyak kemungkinan susunan duduk yang dapat dibuat jika terdapat 3 pelajar yang ingin duduk di baris depan?
Solusi:
n = 8 (jumlah pelajar dalam kelas)
r = 3 (jumlah pelajar yang ingin duduk di baris depan)
n P r = 8 P 3 = 8!/5! = 8 x 7 x 6 = 336
Jadi, terdapat 336 kemungkinan susunan duduk sesuai kondisi tertentu.
Contoh Soal 3
Andi memiliki 8 kaos kaki yang ingin disusun dalam laci. Laci tersebut memiliki 4 kotak. Berapa banyak kemungkinan susunan yang dapat dibuat dengan syarat setiap kotak berisi minimal 1 kaos kaki?
Solusi:
n = 8 (jumlah kaos kaki yang tersedia)
r = 4 (jumlah kotak yang tersedia)
n P r = 8 P 4 = 8!/4! = 1680
Namun, terdapat sejumlah susunan yang tidak memenuhi persyaratan tersebut. Jumlah susunan tersebut dapat dihitung dengan menggunakan rumus sebagai berikut:
r! x (n-r)
4! x (8-4) = 96
Maka, susunan yang memenuhi syarat tersebut adalah 1680 – 96 = 1584
Jadi, terdapat 1584 kemungkinan susunan yang sesuai dengan syarat tertentu.
Contoh Soal 4
Sebuah tim futsal terdiri dari 9 pemain. Jika ada salah satu pemain yang absen, berapa banyak kemungkinan susunan dari 8 pemain yang tersisa?
Solusi:
n = 9 (jumlah pemain tim)
r = 8 (jumlah pemain yang tersisa jika ada yang absen)
n P r = 9 P 8 = 9!/1! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 = 326,5920
Jadi, terdapat 326,5920 kemungkinan susunan dari 8 pemain yang tersisa.
Dari contoh soal di atas, dapat dilihat bahwa permutasi matematika dapat digunakan untuk menghitung kemungkinan susunan dengan memperhatikan urutan itemnya. Seperti kalkulus dasar, permutasi matematika sangat penting dalam bidang matematika dan dapat diterapkan pada berbagai bidang seperti statistika, komputer, dan ilmu pengetahuan serta industri lainnya.
Penerapan permutasi matematika di kehidupan sehari-hari
Permutasi matematika adalah sebuah konsep dalam matematika yang digunakan untuk menghitung urutan permutasi yang mungkin dari sebuah kumpulan objek. Konsep ini seringkali digunakan dalam kehidupan sehari-hari, terutama ketika kita ingin menghitung berapa banyak permutasi suatu objek yang mungkin. Salah satu contohnya adalah ketika kita ingin menghitung jumlah kemungkinan jadwal piket sekolah.
Jadwal Piket Sekolah
Dalam sebuah sekolah, jadwal piket adalah jadwal yang menunjukkan siapa saja yang bertugas mengawasi siswa selama jam istirahat atau ketika guru sedang tidak hadir. Ada berbagai cara untuk membuat jadwal piket di sekolah, namun perhitungan permutasi matematika dapat digunakan untuk memudahkan proses tersebut.
Contohnya, jika sebuah sekolah memiliki 5 siswa yang bertugas piket dan 20 orang siswa, maka berapa banyak permutasi jadwal piket yang mungkin?
Jika kita gunakan rumus permutasi matematika (nPr = n!/(n-r)!) untuk menghitungnya, maka:
5P5 = 5!/(5-5)! = 5! = 120
Artinya, ada 120 kemungkinan permutasi jadwal piket yang dapat dibuat.
Pembagian Tugas
Selain di sekolah, permutasi matematika juga dapat digunakan dalam pembelajaran organisasi dan manajemen tugas. Contohnya, jika ada 8 pekerjaan yang harus dilakukan, dan 3 orang yang melaksanakannya, maka berapa banyak cara pembagian tugas yang mungkin?.
Kembali menggunakan rumus permutasi matematika, maka:
8P3 = 8!/(8-3)! = 8!/5! = 8×7×6 = 336
Jadi, ada 336 cara pembagian tugas yang mungkin diantara 3 orang untuk melaksanakan 8 pekerjaan.
Organisasi Masalah
Sebuah perusahaan ingin mengadakan acara tahunan mereka dan memiliki 10 pengurus. Sebanyak 5 pengurus harus dipilih sebagai panitia untuk membantu mengorganisir acara tersebut. Berapa banyak kemungkinan pilihan panitia yang dapat dibentuk?
Menggunakan rumus permutasi matematika:
10P5 = 10!/(10-5)! = 10!/5! = 10x9x8x7x6 = 30240
Jadi, ada 30.240 kemungkinan cara pemilihan panitia yang mungkin.
Kesimpulan
Dalam hidup kita, permutasi matematika memiliki berbagai macam kegunaan dan dapat membantu kita menghitung berbagai kemungkinan permutasi objek dan orang. Dengan menggunakan rumus permutasi matematika, kita dapat mencapai hasil yang akurat dan memudahkan kita dalam membuat keputusan.
Jenis-Jenis Permutasi
Sebelum memahami jenis-jenis permutasi, terlebih dahulu kita harus mengetahui definisi permutasi. Permutasi adalah cara menghitung berapa banyak susunan yang dapat dibuat dari suatu himpunan. Jenis-jenis permutasi terbagi menjadi dua, yaitu:
1. Permutasi dengan Pengulangan (Repetition Permutation)
Dalam permutasi dengan pengulangan, kita dapat menggunakan kembali satu atau lebih anggota untuk membentuk susunan yang berbeda. Sebagai contoh, kita memiliki himpunan A={a,b,c}, maka permutasi dengan pengulangan dari A adalah (aaa, aab, aac, aba, abb, abc, aca, acb, acc, baa, bab, bac, bba, bbb, bbc, bca, bcb, bcc, caa, cab, cac, cba, cbb, cbc, cca, ccb, ccc).
2. Permutasi Tanpa Pengulangan (Non-repetition Permutation)
Permutasi tanpa pengulangan artinya kita tidak boleh menggunakan satu anggota untuk membentuk susunan yang berbeda. Contohnya, kita memiliki himpunan A={a,b,c}, maka permutasi tanpa pengulangan dari A adalah (abc, acb, bac, bca, cab, cba). Tidak mungkin terbentuk susunan aab, aca, atau abc dalam permutasi tanpa pengulangan.
Cara Menghitung Permutasi
Ada dua cara untuk menghitung permutasi yaitu secara langsung dan tidak langsung.
Menghitung Permutasi Secara Langsung
Untuk menghitung permutasi secara langsung, kita gunakan rumus: n!/(n-r)!, dimana n adalah banyaknya objek dan r adalah panjang susunan atau banyaknya objek yang kita pilih. Sebagai contoh, jika kita memiliki himpunan A={1, 2, 3, 4}, dan ingin mengetahui berapa banyak susunan yang mungkin dibuat jika kita memilih 3 objek dari himpunan A. Maka kita gunakan rumus permutasi, yaitu 4!/(4-3)! = 4x3x2x1/1 = 24 susunan.
Menghitung Permutasi Secara Tidak Langsung
Menghitung permutasi secara tidak langsung dilakukan dengan mentransformasikan permasalahan permutasi menjadi kombinasi. Pertama, kita hitung kombinasi dari objek yang ada menggunakan rumus n!/r!(n-r)!. Setelah itu, kita hitung jumlah permutasi dari kombinasi yang kita dapatkan dengan memperhatikan panjang susunan. Misalnya, jika kita memiliki himpunan A={1, 2, 3, 4}, dan ingin mengetahui berapa banyak susunan yang mungkin jika kita memilih 3 objek dari himpunan A. Pertama, kita hitung kombinasi C(4,3)=4!.3!/(4-3)!.1! = 4, kemudian kita hitung jumlah permutasi dari kombinasi tersebut yaitu 3! = 6, sehingga total susunan yang mungkin adalah 4×6 = 24 susunan.
Kesimpulan
Permutasi matematika adalah teknik penghitungan kemungkinan susunan yang berguna dalam berbagai aplikasi di kehidupan sehari-hari. Jenis-jenis permutasi terbagi dua, yaitu permutasi dengan pengulangan dan permutasi tanpa pengulangan. Untuk menghitung permutasi, terdapat dua cara yaitu secara langsung dan tidak langsung.
