infokemendikbud.com Info Kemendikbud Selamat datang, teman-teman! Kali ini kita akan membahas tentang barisan dan deret aritmatika, sebuah topik matematika yang seringkali dianggap sulit oleh sebagian orang. Barisan dan deret aritmatika merupakan konsep dasar dalam matematika yang sangat penting untuk dipelajari, tidak hanya di sekolah, tetapi juga dalam kehidupan sehari-hari kita. Dalam artikel ini, kita akan merangkum pengertian, rumus, serta contoh dari barisan dan deret aritmatika agar teman-teman bisa lebih mudah memahaminya. Simak artikel ini sampai tuntas, ya!
Pengertian Barisan Aritmatika
Barisan aritmatika merupakan deret bilangan yang memiliki kenaikan atau penurunan yang tetap pada setiap langkahnya. Kenaikan atau turunannya hampir selalu memiliki perbedaan tetap atau yang biasa disebut dengan selisih. Misalkan barisan yang dimulai dengan angka 1 dan dengan kenaikan tetap 3, maka barisan tersebut akan menjadi 1, 4, 7, 10, dan seterusnya. Dalam barisan aritmatika, bilangan ke-n umumnya dinotasikan dengan an, di mana a adalah suku pertama dan n adalah urutan suku tersebut. Adapun selisih yang dimiliki oleh barisan aritmatika dinotasikan dengan d.
Barisan aritmatika digunakan dalam banyak hal, seperti dalam matematika, fisika, dan ekonomi. Salah satu fungsi barisan aritmatika adalah untuk menentukan apakah suatu skala sampai dengan n akan menyelesaikan masalah yang diberikan atau tidak. Selain itu, barisan aritmatika juga digunakan untuk memodelkan pergerakan suatu benda atau obyek, seperti melacak pergerakan objek di ruang angkasa.
Untuk mencari suku kelima atau suku ke-n dari barisan aritmatika, kita lah dapat menggunakan rumus sebagai berikut:
an = a1 + (n-1)d
di mana an adalah suku ke-n, a1 adalah suku pertama, n adalah urutan suku, dan d adalah selisih. Misalnya kita ingin mencari suku ke-7 dari barisan aritmatika yang nilai suku pertamanya adalah 3 dan selisihnya adalah 4, maka kita dapat menggunakan rumus tersebut:
a7 = 3 + (7-1)4 = 27
Artinya, suku ke-7 dari barisan aritmatika tersebut adalah 27.
Dalam barisan aritmatika, terdapat juga suatu istilah yang disebut dengan suku tengah. Suku tengah adalah suku pada deret bilangan di tengah-tengah barisan. Rumus untuk mencari suku tengah pada barisan aritmatika adalah sebagai berikut:
an = (ai + aj)/2
di mana ai adalah suku ke-i dan aj adalah suku ke-j (juga bisa digunakan dengan notasi suku pertama + (n/2-1)x selisih). Dalam barisan aritmatika dengan bilangan genap, suku tengahnya terdiri dari dua bilangan yang ditambahkan dan dibagi dengan 2.
Selain dari rumus-rumus di atas, ada pula rumus yang dapat digunakan untuk mencari jumlah suku pada barisan aritmatika, yakni:
Sn = n/2(a1 + an)
di mana Sn adalah jumlah dari n suku pertama pada barisan aritmatika, a1 adalah suku pertama, dan an adalah suku ke-n. Misalnya, kita ingin menghitung jumlah 10 suku pertama dari barisan aritmatika dengan suku pertama adalah 2 dan selisihnya adalah 5. Maka kita dapat menggunakan rumus tersebut sebagai berikut:
S10 = 10/2(2 + a10)
S10 = 10/2(2 + 47)
S10 = 10/2(49)
S10 = 245
Dalam kasus di atas, jumlah 10 suku pertama pada barisan aritmatika dengan suku pertama adalah 2 dan selisihnya adalah 5 adalah 245.
Itulah pengertian dan beberapa contoh mengenai barisan aritmatika. Meskipun sederhana, namun pengetahuan mengenai barisan aritmatika menjadi penting terutama di dalam pelajaran matematika, yang seringkali kita temui pada saat belajar di sekolah.
Cara Menentukan Un dan Sn pada Barisan Aritmatika
Barisan aritmatika merupakan sebuah barisan matematika yang memiliki aturan atau pola pengurangan atau penambahan terhadap setiap semua anggota barisan. Setiap anggota barisan aritmatika memiliki selisih atau beda antara anggota ke-n dengan anggota ke-(n+1) yang biasa disebut sebagai d. Dalam pembahasan kali ini, kita akan membahas tentang cara menentukan Un dan Sn pada barisan aritmatika tersebut.
Un atau suku ke-n pada barisan aritmatika dapat ditentukan dengan menggunakan rumus yang ditemukan oleh matematikawan bernama Joseph-Louis Lagrange. Rumus tersebut adalah Un = a + (n-1)d. Sedangkan a merupakan suku pertama dari barisan aritmatika, d merupakan beda dari setiap anggota barisan aritmatika, dan n merupakan urutan dari suku yang ingin dicari. Setelah mengetahui rumus Un, kita dapat mencari nilai suku ke-n dengan mudah.
Contoh:
Jika diketahui sebuah barisan aritmatika dengan suku pertama (a) = 2 dan beda (d) = 4, maka dapat dihitung suku ke-5 (Un) sebagai berikut:
Un = a + (n-1)d
Un = 2 + (5-1)4
Un = 2 + 16
Un = 18
Jadi, suku ke-5 pada barisan aritmatika dengan suku pertama 2 dan beda 4 adalah 18.
Selain Un, ada juga yang disebut dengan Sn atau jumlah n buah suku pada barisan aritmatika. Rumus Sn dapat ditentukan dengan menggunakan rumus sebagai berikut: Sn = n/2(2a + (n-1)d). Setelah mengetahui rumus Sn, kita dapat mencari jumlah n buah suku dengan mudah.
Contoh:
Jika diketahui sebuah barisan aritmatika dengan suku pertama (a) = 7 dan beda (d) = 3, maka dapat dihitung jumlah 10 buah suku (Sn) sebagai berikut:
Sn = n/2(2a + (n-1)d)
Sn = 10/2(2(7) + (10-1)3)
Sn = 5(14 + 27)
Sn = 5(41)
Sn = 205
Jadi, jumlah 10 buah suku pada barisan aritmatika dengan suku pertama 7 dan beda 3 adalah 205.
Itulah cara menentukan Un dan Sn pada barisan aritmatika yang dapat digunakan dalam menyelesaikan persoalan matematika. Semoga pembahasan ini dapat membantu kita dalam memahami konsep dasar tentang barisan aritmatika.
Membuktikan Jumlah Deret Aritmatika dengan Metode Induksi Matematika
Deret aritmatika adalah suatu urutan bilangan yang memiliki selisih yang tetap antar angka sebelumnya. Misalnya barisan 2, 4, 6, 8, 10, … merupakan deret aritmatika dengan selisih yang tetap yaitu 2. Secara matematis, deret aritmatika ditulis sebagai:
Di mana, a adalah suku pertama dan b adalah selisih antar suku. Jumlah deret aritmatika hingga ke-n suku dapat ditulis sebagai:
Untuk membuktikan bahwa rumus tersebut benar, kita dapat menggunakan metode induksi matematika. Langkah-langkah yang diperlukan dalam metode ini meliputi bukti langkah dasar, bukti asumsi induksi, dan bukti kesimpulan.
Langkah Dasar
Langkah dasar dalam metode induksi matematika adalah menunjukkan bahwa rumus tersebut benar untuk suku pertama (n = 1). Dengan mengganti n dengan 1 pada rumus jumlah deret aritmatika, kita akan mendapatkan:
Artinya, jumlah deret aritmatika hingga suku pertama adalah suku pertama itu sendiri.
Asumsi Induksi
Langkah kedua dalam metode induksi matematika adalah membuat asumsi bahwa rumus tersebut benar untuk suku ke-n (n > 1) dan membuktikan bahwa rumus tersebut juga benar untuk suku ke-(n+1). Dengan asumsi:
Maka, kita ingin membuktikan bahwa:
Untuk membuktikan hal tersebut, pertama-tama kita dapat menuliskan:
Substitusi rumus jumlah deret aritmatika untuk Sn:
Sehingga, hal tersebut membuktikan rumus penjumlahan deret aritmatika benar untuk suku ke-(n+1).
Kesimpulan
Dengan langkah dasar dan asumsi induksi yang telah dibuat, kita dapat menyimpulkan bahwa rumus penjumlahan deret aritmatika benar untuk semua bilangan bulat positif n. Oleh karena itu, metode induksi matematika dapat digunakan sebagai alat pembuktian matematis, khususnya untuk rumus-rumus keanggotaan atau penjumlahan suatu deret.
Dalam menjalankan metode induksi matematika pada deret aritmatika, terdapat tiga langkah yaitu bukti langkah dasar, bukti asumsi induksi, dan bukti kesimpulan. Dengan langkah-langkah tersebut, kita dapat membuktikan bahwa rumus penjumlahan deret aritmatika benar untuk semua bilangan bulat positif n.
Jadi, rumus penjumlahan deret aritmatika yang diberikan dalam rumus Sn = n/2 [2a + (n-1)b] dapat dipastikan benar untuk segala nilai n. Hal ini sangat membantu dalam penghitungan dan pemecahan masalah matematis yang melibatkan deret aritmatika.
Barisan dan Deret Aritmatika: Pengertian dan Rumus Dasar
Barisan dan deret aritmatika adalah suatu urutan bilangan dengan perbedaan nilai tetap atau sering disebut beda (d). Beda dapat ditemukan dengan mencari selisih antara dua suku berturut-turut dalam barisan. Rumus dasar untuk barisan aritmatika adalah:
an = a1 + (n – 1) * d
dimana:
an = suku ke-n
a1 = suku pertama
n = urutan suku ke-n
d = beda
Rumus untuk deret aritmatika adalah:
Sn = (n/2) * (2a1 + (n-1) * d)
dimana:
Sn = jumlah dari deret aritmatika dengan n suku
n = jumlah suku dalam deret
a1 = suku pertama
d = beda
Cara Menemukan Nilai Suku ke-n dan Suku pada Urutan Tertentu di Barisan Aritmatika
Untuk menemukan nilai suku ke-n dalam barisan aritmatika, kita cukup menggunakan rumus dasar yang telah dijelaskan di atas. Contoh soalnya seperti berikut:
Diketahui a1 = 3, d = 5, dan n = 8, cari nilai suku ke-8 dalam barisan aritmatika tersebut.
Jawabannya adalah:
an = a1 + (n – 1) * d
an = 3 + (8 – 1) * 5
an = 3 + 35
an = 38
Jadi, nilai suku ke-8 dalam barisan aritmatika dengan a1 = 3 dan d = 5 adalah 38.
Selain itu, kita juga dapat menentukan suku pada urutan tertentu dalam barisan aritmatika dengan menggunakan rumus dasar yang sama. Contoh soalnya seperti berikut:
Diketahui a1 = 2, d = -3, cari suku ke-5 dalam barisan aritmatika tersebut.
Jawabannya adalah:
an = a1 + (n – 1) * d
a5 = 2 + (5 – 1) * (-3)
a5 = 2 + (-12)
a5 = -10
Jadi, suku ke-5 dalam barisan aritmatika dengan a1 = 2 dan d = -3 adalah -10.
Contoh Soal dan Pembahasan Barisan Aritmatika
1. Diketahui a1 = 8, d = 2, cari nilai suku ke-10 dalam barisan aritmatika tersebut.
Jawab:
an = a1 + (n – 1) * d
a10 = 8 + (10 – 1) * 2
a10 = 8 + 18
a10 = 26
Jadi, nilai suku ke-10 dalam barisan aritmatika tersebut adalah 26.
2. Diketahui a1 = -4, d = 3, cari nilai suku ke-15 dalam barisan aritmatika tersebut.
Jawab:
an = a1 + (n – 1) * d
a15 = -4 + (15 – 1) * 3
a15 = -4 + 42
a15 = 38
Jadi, nilai suku ke-15 dalam barisan aritmatika tersebut adalah 38.
3. Diketahui a1 = 18, d = -5, cari suku ke-8 dalam barisan aritmatika tersebut.
Jawab:
an = a1 + (n – 1) * d
a8 = 18 + (8 – 1) * (-5)
a8 = 18 – 35
a8 = -17
Jadi, suku ke-8 dalam barisan aritmatika tersebut adalah -17.
4. Diketahui a1 = 5, d = 0,5, cari nilai Sn untuk n = 10.
Jawab:
Sn = (n/2) * (2a1 + (n-1) * d)
Sn = (10/2) * (2*5 + (10-1) * 0,5)
Sn = 5 * (10 + 4,5)
Sn = 72,5
Jadi, nilai Sn untuk n = 10 pada barisan aritmatika dengan a1 = 5 dan d = 0,5 adalah 72,5.
