Mengenal Rasio dari Barisan Geometri

Sudahkah Anda mengenal rasio dari barisan geometri? Jika belum, jangan khawatir karena kita akan membahasnya secara lengkap dalam artikel ini. Barisan geometri adalah urutan bilangan yang didapat dengan cara mengalikan bilangan sebelumnya dengan tetap satu bilangan yang sama sebagai faktor pengali. Rasio adalah perbandingan antara dua bilangan. Dalam konteks barisan geometri, rasio sangat penting karena dapat membantu kita menemukan suku-suku berikutnya dalam barisan. Mari simak penjelasan lebih lanjut dalam artikel Mengenal Rasio dari Barisan Geometri ini.

Pengertian Rasio pada Barisan Geometri

Barisan geometri adalah barisan bilangan yang setiap suku berada dalam perbandingan tetap dengan suku sebelumnya. Perbandingan tersebut dinamakan rasio dari barisan geometri. Rasio juga bisa disebut sebagai perbandingan antara dua bilangan, yaitu suku ke-n dengan suku ke-m yang tergantung dari kasus atau konteks.

Cara menghitung rasio dari barisan geometri yaitu dengan membagi suku ke-n dengan suku ke-m. Contohnya, pada barisan geometri dengan suku-suku 2, 4, 8, 16, 32, rasio antara suku ke-2 dan suku ke-1 adalah 4:2 atau 2, pada suku ke-3 dan suku ke-1 adalah 8:2 atau 4, pada suku ke-4 dan suku ke-2 adalah 16:4 atau 4, dan seterusnya.

Keberadaan rasio pada barisan geometri umumnya digunakan untuk menghitung bilangan yang belum diketahui dalam sederet bilangan. Contohnya, jika diberikan suku ke-3 dari sebuah barisan geometri adalah 48 dan rasio antara suku ke-4 dengan suku ke-3 adalah 3, maka dapat dicari suku ke-4 dengan cara sebagai berikut.

Pertama, harus diketahui bahwa rasio adalah perbandingan antara suku ke-n dengan suku ke-m. Oleh karena itu, suku ke-4 dapat dicari dengan rumus sebagai berikut:

suku ke-4 = suku ke-3 x rasio antara suku ke-4 dan suku ke-3

Dalam kasus ini, rasio antara suku ke-4 dan suku ke-3 adalah 3. Sehingga, suku ke-4 dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut:

suku ke-4 = 48 x 3 = 144

Dengan demikian, suku ke-4 dari barisan geometri tersebut adalah 144. Cara tersebut juga dapat digunakan untuk mencari suku yang lain dalam barisan geometri yang diberikan.

Rasio pada barisan geometri juga dapat diketahui dengan menghitung beda dari barisan geometri tersebut. Beda pada barisan geometri adalah selisih antara suku ke-n dengan suku ke-m. Jika beda dari barisan geometri diketahui, maka rasio dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut:

rasio = (suku ke-n)/(suku ke-m) = (suku ke-m + beda)/(suku ke-m)

Contohnya, jika diberikan sebuah barisan geometri dengan suku pertama 5 dan beda yang diberikan adalah 3 perbedaan antara setiap suku, maka rasio antara suku ke-4 dan suku ke-2 dapat dihitung dengan cara sebagai berikut.

Pertama, harus diketahui suku ke-2 dan suku ke-4 pada barisan geometri tersebut. Suku ke-2 dapat dihitung dengan cara sebagai berikut:

suku ke-2 = suku ke-1 + beda = 5 + 3 = 8

Suku ke-4 juga dapat dihitung dengan cara sebagai berikut:

suku ke-4 = suku ke-1 x (rasio) ^ 3 = 5 x (8/5) ^ 3 = 102.4

Dengan demikian, suku ke-4 dari barisan geometri tersebut adalah 102.4. Rasio dari suku ke-4 dan suku ke-2 dapat dihitung dengan rumus:

rasio = (suku ke-4)/(suku ke-2) = 102.4/8 = 12.8

Dari contoh di atas, dapat diketahui bahwa rasio pada barisan geometri sangatlah penting dalam mencari suku-suku yang belum diketahui. Oleh karena itu, keterampilan dalam menghitung rasio pada barisan geometri dapat memudahkan dalam menyelesaikan soal matematika yang berkaitan dengan barisan geometri.

Rumus Rasio pada Barisan Geometri

Barisan geometri merupakan suatu urutan bilangan dimana setiap bilangan selanjutnya didapatkan dengan mengalikan bilangan sebelumnya dengan suatu bilangan tetap yang disebut rasio.

Contoh barisan geometri adalah: 2, 4, 8, 16, 32, … dengan rasio 2. Barisan geometri yang memiliki rasio yang sama disebut sebagai suatu barisan geometri yang sama.

Untuk menghitung rasio pada suatu barisan geometri, kita dapat menggunakan rumus:

Rumus Rasio pada Barisan Geometri

Rasio = (Suku ke-n) / (Suku ke-m)

Dimana suku ke-n adalah suku ke-n dari barisan geometri dan suku ke-m adalah suku ke-m dari barisan geometri.

Misalnya, pada barisan geometri 2, 4, 8, 16, 32, … , jika kita ingin mencari rasio antara suku ke-4 dan suku ke-2, maka:

Rasio = (Suku ke-4) / (Suku ke-2) = 16/4 = 4

Dalam hal ini, rasio antara suku ke-4 dan suku ke-2 adalah 4.

Hal penting yang perlu diperhatikan adalah bahwa rasio pada barisan geometri haruslah tetap untuk semua suku yang ada dalam barisan tersebut. Dimana jika rasio berubah-ubah, maka barisan bukan termasuk dalam barisan geometri.

Perhitungan rasio pada barisan geometri dapat membantu dalam menentukan suku-suku berikutnya dari suatu barisan geometri yang belum diketahui. Dalam hal ini, kita dapat menggunakan rumus rasio untuk mencari suku-suku berikutnya dari barisan geometri yang diberikan.

Contoh perhitungan rasio untuk barisan geometri adalah sebagai berikut:

1, 2, 4, 8, 16, …

Rasio antara suku ke-4 dan suku ke-2 adalah:

Rasio = (Suku ke-4) / (Suku ke-2) = 8/2 = 4

Maka nilai yang didapat melalui perhitungan rasio ini dapat digunakan untuk mencari suku berikutnya dari barisan geometri yang telah diberikan, misalnya :

Suku ke-6 = Suku ke-4 x Rasio = 8 x 4 = 32

Dalam hal ini, suku ke-6 dari barisan geometri yang diberikan adalah 32.

Dengan demikian, rumus rasio pada barisan geometri sangat penting dalam matematika terutama dalam menentukan suku-suku selanjutnya dalam barisan geometri yang telah diberikan.

Cara Mencari Suku pada Barisan Geometri

Suku pada barisan geometri adalah bilangan-bilangan yang terdiri atas satu atau beberapa deret bilangan. Dalam mempelajari barisan geometri, perlu diketahui rumus umum suku ke-n yang dapat digunakan untuk mencari suku ke-n pada barisan geometri. Rumus umum tersebut adalah:

suku ke-n = suku ke-(n-1) x r

dalam rumus tersebut, r adalah rasio atau beda antar suku pada barisan geometri.

Contoh:

Jika diketahui barisan geometri sebagai berikut: 2, 4, 8, 16, 32, …

maka rasio barisan geometri tersebut adalah 2. Kita dapat mencari suku ke-4 dengan menggunakan rumus umum sebagai berikut:

suku ke-n = suku ke-(n-1) x r

suku ke-4 = suku ke-(4-1) x 2

suku ke-4 = suku ke-3 x 2

suku ke-4 = 8 x 2

suku ke-4 = 16

Jadi, suku ke-4 pada barisan geometri 2, 4, 8, 16, 32, … adalah 16.

Cara Mencari Jumlah N Suku pada Barisan Geometri

Dalam matematika, untuk mencari jumlah N suku pada Barisan Geometri dapat menggunakan rumus sebagai berikut:

Jumlah N suku = (suku pertama x ( 1 – r^N )) / (1 – r)

Contoh:

Jika diketahui barisan geometri sebagai berikut: 2, 4, 8, 16, 32, … dan ingin mencari jumlah 5 suku pertama maka:

suku pertama = 2 dan rasio = 2

N=5

Jumlah N suku = (2.(1-2^5)) / (1-2)

Jumlah N suku = (2.(1-32)) / (-1)

Jumlah N suku = (-60)

Jadi, jumlah 5 suku pertama pada barisan geometri 2, 4, 8, 16, 32, … adalah -60.

Cara Mencari Rasio pada Barisan Geometri

Rasio pada barisan geometri adalah beda antar suku pada barisan geometri. Rasio ini dapat dicari dengan membagi suku ke-(n+1) dengan suku ke-n. Rumus umum rasio pada barisan geometri adalah:

rasio = suku ke-(n+1) / suku ke-n

Contoh:

Jika diketahui barisan geometri sebagai berikut: 2, 4, 8, 16, 32, …

maka rasio barisan geometri tersebut adalah:

rasio = suku ke-(n+1) / suku ke-n

rasio = suku ke-2 / suku ke-1

rasio = 4 / 2

rasio = 2

Jadi, Rasio pada barisan geometri 2, 4, 8, 16, 32, … adalah 2.

Mencari Suku Barisan Geometri dengan Rasio dan Suku Awal

Saat kita memiliki barisan geometri, kita dapat menggunakan rumus suku ke-n = suku awal x r^(n-1) untuk mencari nilai suku ke-n pada barisan tersebut. Rumus ini dapat membantu kita mencari suku apa pun pada barisan geometri, dengan asumsi kita memiliki nilai suku awal dan rasio suatu barisan.

Sebagai contoh, jika kita memiliki barisan geometri dengan suku awal 2 dan rasio 3, kita dapat menggunakan rumus suku ke-n = 2 x 3^(n-1) untuk mencari nilai suku ke-4 pada barisan tersebut.

Ini berarti suku ke-4 pada barisan tersebut adalah 2 x 3^(4-1) = 2 x 3^3 = 2 x 27 = 54. Dengan menggunakan rumus ini, kita dapat dengan mudah menemukan nilai suku apa pun pada barisan geometri tertentu.

Perlu diingat bahwa rumus suku ke-n = suku awal x r^(n-1) hanya berlaku untuk barisan geometri, dan tidak berlaku untuk jenis barisan lainnya seperti barisan aritmatika. Oleh karena itu, penting untuk memastikan bahwa kita memiliki barisan geometri sebelum menggunakan rumus ini untuk mencari nilai suku.

Rumus ini juga dapat digunakan untuk menentukan rasio suatu barisan geometri jika kita sudah mengetahui dua suku yang berdekatan. Misalnya, jika kita memiliki barisan geometri dengan suku ke-3 dan suku ke-4 bernilai berturut-turut 24 dan 72, kita dapat menentukan rasio barisan tersebut dengan langkah-langkah berikut:

1. Gunakan rumus suku ke-n = suku awal x r^(n-1) untuk mencari nilai suku ke-3 pada barisan tersebut. Kita tahu bahwa suku ke-3 adalah 24, sehingga:

24 = suku awal x r^(3-1)

2. Gunakan rumus yang sama untuk mencari nilai suku ke-4 pada barisan tersebut. Kita tahu bahwa suku ke-4 adalah 72, sehingga:

72 = suku awal x r^(4-1)

3. Buat persamaan dari kedua rumus tersebut dan gunakan untuk menyelesaikan rasio:

24 = suku awal x r^2

72 = suku awal x r^3

Bagi persamaan kedua dengan persamaan pertama untuk mendapatkan rasio:

72/24 = (suku awal x r^3)/(suku awal x r^2)

3 = r

Dengan demikian, rasio dari barisan geometri yang kita miliki adalah 3.

Dalam melakukan perhitungan, pastikan menggunakan nilai suku yang benar agar hasilnya akurat. Jangan lupa untuk juga memeriksa hasil perhitungan kita menggunakan metode lain agar memastikan kebenarannya.

Dengan menggunakan rumus suku ke-n = suku awal x r^(n-1), kita dapat dengan mudah menemukan nilai suku apa pun pada barisan geometri, serta menentukan rasio suatu barisan jika kita sudah mengetahui nilai suku beberapa suku yang berdekatan. Pastikan untuk melakukan perhitungan dengan teliti agar hasilnya akurat.

Pengertian Rasio pada Barisan Geometri

Sebelum membahas contoh soal mengenai perhitungan rasio pada barisan geometri, ada baiknya kita memahami terlebih dahulu apa yang dimaksud dengan rasio pada barisan geometri. Rasio pada barisan geometri merupakan perbandingan antara suku-suku yang bersebelahan pada barisan geometri tersebut.

Secara umum, rumus untuk menghitung rasio pada barisan geometri adalah:

r = a_n / a_n-1

Dimana r adalah rasio yang akan dicari, a_n adalah suku ke-n pada barisan geometri, dan a_n-1 adalah suku sebelum suku ke-n pada barisan geometri.

Contoh Soal Latihan

Contoh Soal 1

Diketahui sebuah barisan geometri dengan suku pertama (a₁) sebesar 2 dan rasio (r) sebesar 3. Hitunglah suku ke-5 pada barisan geometri tersebut.

Langkah penyelesaian:

Karena diketahui suku pertama dan rasio, maka kita bisa mencari suku ke-5 dengan rumus:

a_n = a₁ x r^n-1

Dengan n = 5, maka rumus tersebut menjadi:

a₅ = 2 x 3⁴

a₅ = 2 x 81

a₅ = 162

Jadi, suku ke-5 pada barisan geometri tersebut adalah 162.

Contoh Soal 2

Diketahui sebuah barisan geometri dengan suku pertama (a₁) sebesar 5 dan suku ke-3 (a₃) sebesar 45. Hitunglah rasio pada barisan geometri tersebut.

Langkah penyelesaian:

Karena diketahui suku pertama dan suku ke-3, maka kita bisa mencari rasio dengan rumus:

r = a₃ / a₁

Dengan mengganti nilai a₁ dan a₃, maka rumus tersebut menjadi:

r = 45 / 5

r = 9

Jadi, rasio pada barisan geometri tersebut adalah 9.

Contoh Soal 3

Diketahui sebuah barisan geometri dengan suku pertama (a₁) sebesar 1/2 dan suku ke-4 (a₄) sebesar 16. Hitunglah rasio pada barisan geometri tersebut.

Langkah penyelesaian:

Karena diketahui suku pertama dan suku ke-4, maka kita bisa mencari rasio dengan rumus:

r = a₄ / a₁

Dengan mengganti nilai a₁ dan a₄, maka rumus tersebut menjadi:

r = 16 / (1/2) x 2³

r = 16 / 4

r = 4

Jadi, rasio pada barisan geometri tersebut adalah 4.

Contoh Soal 4

Diketahui sebuah barisan geometri dengan rasio (r) sebesar 2 dan suku ke-7 (a₇) sebesar 256. Hitunglah suku pertama pada barisan geometri tersebut.

Langkah penyelesaian:

Karena diketahui rasio dan suku ke-7, maka kita bisa mencari suku pertama dengan rumus:

a₇ = a₁ x r⁶

Dengan mengganti nilai a₇ dan r, maka rumus tersebut menjadi:

256 = a₁ x 2⁶

256 = a₁ x 64

a₁ = 256 / 64

a₁ = 4

Jadi, suku pertama pada barisan geometri tersebut adalah 4.

Contoh Soal 5

Diketahui sebuah barisan geometri dengan suku pertama (a₁) sebesar 3 dan rasio (r) sebesar 5. Hitunglah suku ke-10 pada barisan geometri tersebut.

Langkah penyelesaian:

Karena diketahui suku pertama dan rasio, maka kita bisa mencari suku ke-10 dengan rumus:

a_n = a₁ x r^n-1

Dengan n = 10, maka rumus tersebut menjadi:

a₁₀ = 3 x 5⁹

Kita dapat mempercepat perhitungan dengan memanfaatkan sifat-sifat barisan geometri. Misalnya, kita bisa mencari suku ke-5 terlebih dahulu, kemudian menghitung suku ke-10 dengan rumus:

a₁₀ = a₅ x r⁵

Dengan n = 5, maka rumus tersebut menjadi:

a₅ = 3 x 5⁴

Selanjutnya, kita bisa mengganti nilai a₅ dan r pada rumus sebelumnya:

a₁₀ = 3 x 5⁴ x 5⁵

a₁₀ = 3 x 5⁹

Sehingga suku ke-10 pada barisan geometri tersebut adalah 3 x 5⁹.

Jadi, suku ke-10 pada barisan geometri tersebut adalah 37.500.