infokemendikbud.com Info Kemendikbud Selamat datang, pembaca setia! Anda pasti sudah tidak asing lagi dengan istilah Deret Geometri. Itu adalah suatu rangkaian bilangan, di mana tiap unsurnya didapatkan dengan mengalikan dengan suatu bilangan tetap yang disebut rasio. Namun, apakah Anda pernah kesulitan menyelesaikan soal Deret Geometri Tak Hingga? Jangan khawatir, dalam artikel ini kami akan membahas cara mudah menyelesaikan soal seperti itu. Mari kita simak lebih lanjut!
Apa itu Deret Geometri Tak Hingga?
Deret matematika adalah jumlah tak hingga dari angka atau suku berurutan. Jika deret tersebut memiliki rasio yang tetap antara dua suku deret berturut-turut, maka itu disebut deret geometri. Sedangkan deret geometri tak hingga adalah jenis deret geometri di mana jumlah suku deretnya tidak terbatas atau tak hingga. Dalam bahasa matematika, deret geometri tak hingga ditulis sebagai:
a + ar + ar^2 + ar^3 + … + ar^n + …
di mana a adalah suku pertama, r adalah rasio antara dua suku deret berturut-turut, dan n adalah banyaknya suku deret.
Cara Menghitung Deret Geometri Tak Hingga
Untuk menghitung jumlah nilai deret geometri tak hingga, kita perlu menggunakan rumus yang berbeda-beda tergantung pada nilai rasio suku deret. Ada dua kasus utama:
Kasus Pertama
Jika rasio suku deret (r) lebih kecil dari satu (1), maka jumlah suku deret akan mencapai nilai tak terhingga saat rasio suku mendekati nol. Dalam kasus ini, rumus yang digunakan untuk menghitung nilai deret adalah:
Jumlah nilai deret geometri tak hingga = a / (1 – r)
Kasus Kedua
Jika rasio suku deret (r) sama atau lebih besar dari satu (1), maka deret tak hingga tidak akan memiliki nilai karena jumlah suku akan terus meningkat. Dalam kasus ini, kita hanya bisa menentukan nilai deret jika kita mengetahui nilai suku pertama (a) dan nilai suku akhir (b). Rumus yang digunakan adalah:
Jumlah nilai deret geometri tak hingga = (a – b) / (1 – r)
Contoh Soal Deret Geometri Tak Hingga
Misalkan kita memiliki deret geometri tak hingga dengan suku awal 2 dan rasio suku sebesar 3. Berapakah jumlah nilai dari deret tersebut?
Untuk menyelesaikan masalah ini, kita hanya perlu menggunakan rumus pertama yang telah disebutkan:
Jumlah nilai deret geometri tak hingga = a / (1 – r)
Jumlah nilai deret geometri tak hingga = 2 / (1 – 3)
Jumlah nilai deret geometri tak hingga = 2 / (-2) = -1
Jadi, jumlah nilai dari deret geometri tak hingga dengan suku awal 2 dan rasio suku sebesar 3 adalah -1.
Kesimpulan
Deret geometri tak hingga adalah jenis deret yang memiliki karakteristik khusus karena memiliki rasio yang tetap antara dua suku berturut-turut. Jumlah nilai deret dapat dihitung dengan menggunakan rumus-rumus khusus yang disesuaikan dengan rasio suku deret. Ada dua kasus yang muncul dalam kalkulasi deret geometri tak hingga, tergantung pada nilai rasio suku deret. Deret matematika seringkali digunakan dalam berbagai situasi, baik dalam matematika murni maupun dalam analisis keuangan dan komputasi ilmiah.
Cara Menentukan Jumlah Suku Deret Geometri Tak Hingga
Deret geometri tak hingga adalah jenis deret yang memiliki rasio konstan pada setiap suku. Sama seperti deret aritmatika, deret geometri tak hingga memiliki rumus untuk menentukan jumlah suku ke-n.
Rumus Jumlah Suku Deret Geometri Tak Hingga
Dalam deret geometri tak hingga, rumus untuk menentukan jumlah suku ke-n adalah sebagai berikut:
Sn = a1 * (1 – r^n) / (1 – r)
Di mana,
- Sn adalah jumlah suku ke-n
- a1 adalah suku pertama
- r adalah rasio
- n adalah jumlah suku yang dicari
Dalam menghitung jumlah suku ke-n, kita perlu memasukkan nilai suku pertama dan rasio yang telah diberikan. Dengan demikian, kita bisa menemukan nilai jumlah suku apa pun di dalam deret geometri tak hingga dengan praktis menggunakan rumus yang diberikan.
Contoh Soal
Misalkan kita mempunyai deret geometri tak hingga dengan suku pertama 2 dan rasio 3. Kemudian, kita ingin mengetahui jumlah suku ke-4 dari deret tersebut.
Dalam menyelesaikan masalah ini, pertama-tama perlu dicari nilai n sebagai jumlah suku yang dicari. Dalam kasus ini, nilai n adalah 4. Kemudian, masukkan nilai suku pertama, yaitu 2, dan rasio, yaitu 3, ke dalam rumus:
Sn = a1 * (1 – r^n) / (1 – r)
S4 = 2 * (1 – 3^4) / (1 – 3)
Selanjutnya, kita perlu menghitung rumus dengan benar:
S4 = 2 * (1 – 81) / (-2)
S4 = -162/(-2)
S4 = 81
Jadi, jumlah suku ke-4 dari deret geometri dengan suku pertama 2 dan rasio 3 adalah 81.
Kesimpulan
Menentukan jumlah suku deret geometri tak hingga sangat penting dalam matematika. Dalam menemukan jumlah suku ke-n di sini hanya perlu menggunakan rumus Sn = a1 * (1 – r^n) / (1 – r). Kita hanya perlu memasukkan nilai suku pertama, rasio, dan jumlah suku yang dicari untuk menemukan nilai jumlah suku apa pun dalam deret tersebut.
Seperti halnya dalam contoh soal di atas, kita telah menemukan bahwa jumlah suku ke-4 dalam deret geometri tak hingga dengan suku pertama sebesar 2 dan rasio 3 adalah 81.
Cara Menentukan Jumlah Deret Geometri Tak Hingga
Deret geometri tak hingga merupakan deret tak terhingga yang memiliki rasio antara setiap pasang suku yang tetap. Dalam matematika, deret geometri tak hingga sering digunakan dalam perhitungan keseimbangan populasi, persamaan Maxwell-Boltzmann, dan bidang-bidang lainnya.
Untuk mengetahui jumlah seluruh suku dalam deret geometri tak hingga, ada rumus sederhana yang bisa digunakan, yaitu:
S = a1 / (1 – r)
Di mana S adalah jumlah seluruh suku dalam deret, a1 adalah suku pertama, dan r adalah rasio.
Rasio dalam deret geometri bisa ditemukan dengan membagi suku ke-n dengan suku ke-(n-1). Contohnya jika hasil bagi suku ke-2 dan suku ke-1 adalah 2, maka rasionya adalah 2.
Untuk menggunakan rumus di atas, pertama-tama tentukanlah nilai a1 dan r dari deret geometri yang diberikan. Kemudian substitusikan nilai tersebut ke dalam rumus dan hitunglah hasilnya. Berikut adalah langkah-langkahnya.
Contoh Soal Menentukan Jumlah Deret Geometri Tak Hingga
Misalnya kita diberikan deret geometri tak hingga berikut ini:
1, 2, 4, 8, 16, …
Tentukanlah jumlah seluruh suku dalam deret tersebut!
Langkah pertama adalah menentukan nilai a1 dan r dari deret tersebut.
Diketahui bahwa suku pertama dari deret adalah 1, sehingga a1 = 1.
Untuk menentukan rasio, kita bisa mencari hasil bagi suku ke-n dengan suku ke-(n-1), di mana n adalah indeks suku tersebut.
Jadi, rasio deret di atas adalah 2.
Setelah mengetahui nilai a1 dan r, langkah berikutnya adalah substitusikan nilai tersebut ke dalam rumus jumlah deret geometri tak hingga, yaitu:
S = a1 / (1 – r)
Dalam contoh ini, nilai a1 adalah 1 dan rasionya adalah 2. Maka,
S = 1 / (1 – 2) = -1
Ternyata, hasil yang didapatkan adalah bilangan negatif. Hal ini menunjukkan bahwa deret ini divergen dan tidak memiliki jumlah yang terhingga. Artinya, suku-suku pada deret ini akan terus bertambah tanpa batas.
Kesimpulan yang bisa diambil adalah bahwa deret geometri tak hingga dapat memiliki jumlah seluruh suku yang terhingga atau tak terhingga, tergantung pada nilai rasionya. Jika rasio antara suku-suku dalam deret lebih kecil dari 1, maka jumlah seluruh suku akan terhingga. Namun, jika rasionya lebih besar dari atau sama dengan 1, maka deret akan divergen dan tidak memiliki jumlah seluruh suku yang terhingga.
Aplikasi Deret Geometri Tak Hingga dalam Kehidupan Sehari-hari
Deret geometri tak hingga adalah sebuah barisan angka yang memiliki rasio konstan. Dalam kehidupan sehari-hari, deret geometri tak hingga dapat digunakan untuk menghitung berbagai hal seperti pertumbuhan populasi, penghitungan nilai investasi, hingga pembayaran utang. Berikut adalah beberapa contoh penerapan deret geometri tak hingga dalam kehidupan sehari-hari.
Penghitungan Pertumbuhan Populasi
Salah satu penerapan deret geometri tak hingga dalam kehidupan sehari-hari adalah dalam penghitungan pertumbuhan populasi. Misalnya, lingkungan tempat kita hidup memiliki populasi tikus yang berkembang biak dengan rasio 4/3 setiap tahunnya. Dalam hal ini, kita dapat menggunakan deret geometri tak hingga untuk memperkirakan berapa jumlah populasi tikus setelah beberapa tahun ke depan. Jika awalnya jumlah populasi tikus adalah 100 ekor, maka setelah tiga tahun, jumlah populasi tikus dapat dihitung dengan menggunakan rumus berikut:
a * (r^n-1) / (r-1)
Dimana a adalah nilai awal atau jumlah populasi tikus awal (100), r adalah rasio pertumbuhan (4/3), dan n adalah lama waktu pertumbuhan (3 tahun). Maka, jumlah populasi tikus setelah tiga tahun adalah 480 ekor.
Penghitungan Nilai Investasi
Selain dalam penghitungan pertumbuhan populasi, deret geometri tak hingga juga dapat digunakan dalam penghitungan nilai investasi. Misalnya, kita membeli saham dengan nilai awal Rp 10.000.000 dan rasio keuntungan yang dihasilkan setiap tahunnya sebesar 10%. Setelah 10 tahun, kita ingin mengetahui nilai investasi kita. Dalam hal ini, kita dapat menggunakan rumus deret geometri tak hingga sebagai berikut:
a * (1 – r^n) / (1 – r)
Dimana a adalah nilai awal investasi (Rp 10.000.000), r adalah rasio pertumbuhan keuntungan (10%), dan n adalah lama waktu investasi (10 tahun). Maka, nilai investasi kita setelah 10 tahun adalah Rp 25.937.424.
Pembayaran Utang
Deret geometri tak hingga juga dapat digunakan dalam penghitungan pembayaran utang. Misalnya, seseorang memiliki utang sebesar Rp 10.000.000 dengan bunga 5% per tahun dan ingin melunasi seluruh utangnya dalam 3 tahun. Dalam hal ini, kita dapat menggunakan rumus deret geometri tak hingga sebagai berikut:
a * (r^n * (r-1)) / (r^n-1)
Dimana a adalah nilai awal utang (Rp 10.000.000), r adalah rasio pertumbuhan bunga (1+0,05=1,05), dan n adalah lama waktu pengembalian utang (3 tahun). Berdasarkan rumus tersebut, jumlah pembayaran yang harus dilakukan setiap tahunnya adalah Rp 3.801.514.
Kesimpulan
Dalam kehidupan sehari-hari, deret geometri tak hingga sangat bermanfaat dalam memecahkan berbagai masalah matematika, keuangan hingga ilmu fisika. Dalam kasus penghitungan pertumbuhan populasi, nilai investasi, dan pembayaran utang, rumus deret geometri tak hingga dapat digunakan untuk memperkirakan hasil. Oleh karena itu, mempelajari lebih lanjut tentang konsep deret geometri tak hingga dapat sangat bermanfaat bagi kehidupan sehari-hari.
Apa itu deret geometri tak hingga?
Deret geometri tak hingga adalah deret tak hingga yang setiap suku yang dihasilkan memiliki rasio antara suku sebelumnya dan suku sekarang yang tetap. Rasio ini disebut rasio geometri atau rasio common ratio.
Contohnya, deret geometri dengan suku pertama (a1) = 4 dan rasio geometri (r) = 2 memiliki suku kedua (a2) = 8, suku ketiga (a3) = 16, suku keempat (a4) = 32, dan seterusnya.
Rumus umum deret geometri tak hingga
Rumus umum untuk deret geometri tak hingga adalah sebagai berikut:
S = a1 + a2 + a3 + … + an + … = a1(1 – r^n)/(1 – r)
dimana:
- S adalah jumlah tak terhingga dari urutan suku
- a1 adalah suku pertama dalam deret
- r adalah rasio geometri yang tetap
- n adalah urutan suku dalam deret
Contoh soal deret geometri tak hingga
Misalkan terdapat sebuah deret geometri tak hingga dengan suku pertama (a1) 3 dan rasio geometri (r) 2. Hitunglah jumlah tak terhingga dari deret tersebut.
Penyelesaian:
S = a1/(1-r) = 3/(1-2) = 3/-1 = -3
Sehingga jawabannya adalah -3.
Penggunaan deret geometri tak hingga
Deret geometri tak hingga memiliki berbagai aplikasi dalam dunia nyata, di antaranya:
- Keuangan: Dalam bidang keuangan, deret ini digunakan untuk menghitung nilai masa depan dan investasi.
- Elektronika: Rasio geometri digunakan dalam rangkaian elektronik untuk menghitung daya dan impedansi listrik.
- Biologi: Deret ini digunakan dalam biologi untuk memprediksi populasi makhluk hidup pada waktu yang akan datang.
Nilai batas deret geometri tak hingga
Nilai batas deret geometri tak hingga dapat ditemukan dengan rumus sebagai berikut:
Batas deret = a1/(1 – r)
Jika r < 1, maka batas deret akan berupa nilai tetap. Sedangkan jika r > 1 atau r = 1, maka batas deret tersebut akan divergen atau tak terhingga.
Kesimpulan
Deret geometri tak hingga adalah deret tak hingga yang setiap suku yang dihasilkan memiliki rasio antara suku sebelumnya dan suku sekarang yang tetap. Rumus umum untuk deret ini adalah S = a1 + a2 + a3 + … + an + … = a1(1 – r^n)/(1 – r). Deret ini memiliki berbagai aplikasi dalam dunia nyata, di antaranya dalam bidang keuangan, elektronika, dan biologi. Sementara itu, nilai batas deret geometri tak hingga dapat ditemukan dengan rumus Batas deret = a1/(1 – r), dimana jika r < 1 akan divergen atau tak terhingga.
