infokemendikbud.com Info Kemendikbud Selamat datang, pembaca semua! Kali ini kita akan membahas turunan dari fungsi trigonometri, yaitu cosec x. Apa itu cosec x? Cosec x adalah hasil dari invers sin x, dimana cos x tidak sama dengan nol. Sebagai salah satu fungsi trigonometri, cosec x sering muncul dalam berbagai perhitungan, seperti dalam trigonometri sferis atau dalam perhitungan medan listrik. Pada artikel ini, kita akan membahas lebih dalam tentang definisi dan cara menghitung turunan dari fungsi cosec x. Yuk, simak artikel berikut ini!
Pengertian Turunan Cosec x
Turunan cosec x adalah turunan dari fungsi trigonometri, yaitu cosec x. Cosec x merupakan kebalikan dari sin x, sehingga dapat juga dituliskan sebagai 1/sin x. Turunan trigonometri cosec x dapat dihitung dengan menggunakan aturan tangen dan aturan eksponensial.
Turunan trigonometri adalah salah satu topik utama dalam kalkulus. Dalam kalkulus, turunan digunakan untuk menghitung perubahan suatu fungsi dalam suatu interval tertentu. Turunan trigonometri adalah sesuatu yang harus dikuasai oleh setiap mahasiswa matematika dan fisika.
Cara Menghitung Turunan Cosec x
Turunan trigonometri cosec x dapat dihitung dengan menggunakan aturan tangen dan aturan eksponensial. Berikut adalah cara menghitung turunan trigonometri cosec x:
1. Aturan Eksponensial
Pertama-tama, kita harus menggunakan aturan eksponensial untuk menulis cosec x sebagai bentuk eksponensial. Jika kita memperhatikan bentuk sin x dan cos x, kita dapat mengubah cosec x menjadi:
cosec x = 1/sin x = (e^(ix) – e^(-ix))/2i
2. Aturan Tangen
Setelah mengubah cosec x menjadi bentuk eksponensial, kita dapat menggunakan aturan tangen untuk menghitung turunan cosec x. Aturan tangen menyatakan:
tan x = sin x / cos x
Jadi, kita dapat menulis:
(d/dx) cosec x = (d/dx) (e^(ix) – e^(-ix))/2i * (1/sin x)
Kemudian, kita dapat menurunkan ekspresi ini menggunakan aturan tangen:
(d/dx) cosec x = (d/dx) (e^(ix) – e^(-ix))/2i * (1/sin x) * (cos x/cos x)
=(d/dx) (e^(ix) – e^(-ix))/2i * (cos x/sin x)
3. Penurunan Fungsi Eksponensial
Lanjutkan dengan menurunkan fungsi eksponensial pada numerator. Untuk menurunkan e^(ix), kita dapat menggunakan aturan rantai:
(d/dx) (e^(ix) – e^(-ix)) = i * e^(ix) – (-i) * e^(-ix)
=(i * e^(ix)) + (i * e^(-ix))
Jadi, turunan trigonometri cosec x dapat ditulis sebagai:
(d/dx) cosec x = (cos x / sin^2 x) * (i * e^(ix) + i * e^(-ix))/2i
=(cos x / sin^2 x) * i * (e^(ix) + e^(-ix))/2
=(cos x / sin^2 x) * i * cosh x
Dalam rumus ini, cosh x adalah cosinus hiperbolik, yaitu:
cosh x = (e^x + e^(-x)) / 2
Jadi, turunan trigonometri cosec x dapat ditulis sebagai:
(d/dx) cosec x = -cosec x * cot x
atau
(d/dx) cosec x = -(1/sin x) * (cos x/sin x) = -cos x/sin^2 x
Formula terakhir merupakan turunan cosec x paling sering digunakan untuk menyelesaikan soal.
Kesimpulan
Turunan trigonometri cosec x merupakan turunan dari fungsi trigonometri, yaitu cosec x. Cara menghitung turunan trigonometri cosec x dapat dilakukan dengan menggunakan aturan tangen dan aturan eksponensial. Aturan eksponensial digunakan untuk mengubah cosec x menjadi bentuk eksponensial, sedangkan aturan tangen digunakan untuk menurunkan fungsi eksponensial dan memperoleh turunan trigonometri cosec x. Rumus terakhir yang paling sering digunakan untuk menyelesaikan turunan trigonometri cosec x adalah -(cos x/sin^2 x) atau -cosec x * cot x.
Rumus Turunan Cosec x
Cosec x ialah reciprokal dari sin x. Rumus turunan cosec x ialah -cosec x * cot x. Artinya, turunan dari cosec x adalah hasil pengurangan bentuk negatif dari cosec x dikali turunan dari cot x.
Untuk lebih memahami rumus turunan cosec x, mari kita pelajari terlebih dahulu tentang tangent, cotangent, serta bagaimana cara menghitung turunannya.
Tangent
Tangent merupakan fungsi trigonometri yang didefinisikan sebagai rasio antara sine dan cosine dari suatu sudut. Dalam rumus trigonometri, tangent x dihitung dengan rumus sin x/cos x.
Manfaat dari penggunaan tangent dalam matematika sangat beragam. Beberapa di antaranya adalah dalam bidang matematika terapan seperti fisika dan angkasa. Selain itu, tangent juga sering digunakan dalam persamaan garis singgung pada kurva.
Cotangent
Cotangent merupakan kebalikan dari tangent. Dalam rumus trigonometri, cotangent x dihitung dengan rumus cos x/sin x.
Cotangent digunakan dalam pelajaran trigonometri, fisika, dan matematika terapan. Salah satu kegunaan cotangent yang paling umum adalah dalam analisis gelombang.
Turunan Tangent dan Cotangent
Turunan dari tangent adalah hasil pengurangan bentuk positif dari secant x dikalikan turunan dari sin x. Rumus turunan tangent adalah :
sec x * sec x = 1/cos x * 1/cos x = 1/cos^2 x
Dalam rumus turunan cotangent, pengurangan berlawanan dari turunan dari cosec x dikalikan turunan dari sin x. Rumus turunan cotangent adalah :
-cosec^2 x
Cara Menghitung Turunan Cosec x
Setelah kita mengetahui rumus turunan tangent dan cotangent, kita dapat menurunkan rumus turunan cosec dengan lebih mudah. Kita ketahui bahwa cosec x merupakan kebalikan dari sine x. Dalam rumus trigonometri, cosec x dihitung dengan rumus 1/sin x.
Dari rumus turunan cosec x, kita mengetahui bahwa turunan dari cosec x adalah -cosec x * cot x. Dengan mengganti nilai turunan cot x dengan rumus turunan cotangent, kita dapat mengetahui rumus turunan cosec x dengan menggunakan rumus trigonometri.
Sehingga, rumus turunan cosec x dapat dinyatakan sebagai berikut :
−(cosec x cot x) = -((1/sin x) * (cos x/sin x)) = -cos x/sin^2 x
Dengan mengetahui rumus turunan cosec x, kita dapat menghitung turunan dari fungsi trigonometri pada soal-soal matematika. Termasuk pada soal-soal yang berkaitan dengan kalkulus serta integral, di mana dalam penghitungannya dibutuhkan rumus turunan.
Kesimpulan
Rumus turunan cosec x adalah -cosec x * cot x. Dalam mencari nilai turunan cos x, terlebih dahulu harus dicari nilai turunan dari tangent dan cotangent. Turunan tangent dapat dihitung dengan rumus sec^2 x, sedangkan turunan cotangent dapat dihitung dengan rumus -cosec^2 x.
Selain itu, kita juga dapat mencari turunan dari cosec x dengan mengganti nilai turunan cot x dengan rumus turunan cotangent dan nilai kebalikannya dalam rumus trigonometri. Dengan mengetahui rumus turunan cosec x, kita dapat dengan mudah menghitung nilai turunannya dan menerapkannya pada soal-soal matematika.
Cara Mencari Turunan Cosec x
Turunan dari cosec x adalah -cosec x cot x. Kita dapat mencari turunan ini dengan menggunakan aturan turunan hasil kali. Aturan ini mengatakan bahwa turunan dari hasil kali dua fungsi adalah fungsi pertama dikalikan dengan turunan dari fungsi kedua plus fungsi kedua dikalikan dengan turunan dari fungsi pertama.
Langkah-langkah
Langkah-langkah untuk mencari turunan cosec x adalah sebagai berikut:
- Tulis cos x sebagai 1/sin x.
- Tulis cosec x sebagai 1/(sin x).
- Cari turunan dari cos x menggunakan aturan turunan hasil bagi.
- Cari turunan dari sin x menggunakan aturan turunan dari sine.
- Gabungkan hasilnya dengan aturan turunan hasil kali.
Turunan Cos x
Untuk mencari turunan cos x, kita dapat menggunakan aturan turunan hasil bagi. Aturan ini mengatakan bahwa turunan dari hasil bagi dua fungsi adalah turunan dari fungsi atas dikurangi fungsi bawah dikalikan dengan turunan dari fungsi atas dibagi dengan kuadrat dari fungsi bawah.
- Turunan cos x = -sin x
Turunan Sin x
Untuk mencari turunan sin x, kita dapat menggunakan aturan turunan dari sine. Aturan ini mengatakan bahwa turunan dari sine x adalah cos x.
- Turunan sin x = cos x
Gabungkan Hasilnya
Kita telah mengetahui turunan dari sin x dan cos x. Kita juga tahu bahwa cosec x sama dengan 1/sin x. Oleh karena itu, kita dapat menulis turunan cosec x sebagai:
- Turunan cosec x = -cosec x cot x
Dalam turunan ini, kita mengalikan turunan dari sin x (cos x) dengan cosec x dan turunan dari cos x (-sin x) dengan cot x. Kemudian kita gabungkan hasilnya menjadi -cosec x cot x.
Jadi, cara mencari turunan dari cosec x adalah dengan menulis cosec x sebagai 1/sin x, mencari turunan dari sin x dan cos x, dan menggabungkan hasilnya menggunakan aturan turunan hasil kali. Hasilnya adalah -cosec x cot x.
Pengertian Cosec x dan Turunannya
Cosec x atau cosinus reciprokal merupakan fungsi trigonometri yang didefinisikan sebagai kebalikan dari fungsi sinus. Jika sin x adalah rasio antara sisi miring yang berlawanan dengan sudut x dan sisi miring terpanjang dari sebuah segitiga, maka cosec x adalah kebalikan dari sin x. Dalam matematika, turunan dari cosec x juga memiliki peran penting dalam kalkulus. Turunan dari fungsi ini dikenal sebagai turunan cosec x atau turunan dari fungsi trigonometri.
Turunan dari cosec x dapat dinyatakan sebagai:
d/dx(cosec x) = -cosec x.cot x
Yang artinya, turunan dari cosec x sama dengan hasil dari perkalian antara cosec x dengan cot x yang memiliki tanda negatif.
Fungsi Cosec x Dalam Kalkulus
Fungsi cosec x juga memiliki peranan penting dalam kalkulus. Dalam kalkulus, fungsi ini sering kali digunakan untuk menyelesaikan berbagai masalah yang melibatkan trigonometri dan kalkulus.
Pada dasarnya, turunan dari cosec x digunakan untuk menghitung besarnya perubahan fungsi secara instan pada suatu titik. Turunan dari fungsi ini juga membantu kita dalam memahami sifat-sifat fungsi trigonometri yang lebih kompleks, seperti fungsi trigonometri terbalik, fungsi trigonometri invers, dan lain-lain.
Salah satu contoh soal turunan cosec x yang seringkali diberikan pada siswa di sekolah yaitu:
Contoh Soal Turunan Cosec x
Contoh soal turunan cosec x: Hitunglah turunan dari y = cosec 2x.
Langkah 1: Kita perlu mengetahui rumus turunan dari cosec x, yang dapat dinyatakan sebagai:
d/dx(cosec x) = -cosec x.cot x
Langkah 2: Kita gunakan aturan rantai untuk menghitung turunan y = cosec 2x.
y = cosec 2x = (sin 2x)-1.
Karena kita ingin menghitung turunan pada y = cosec 2x, maka kita perlu menyelesaikan turunan pada fungsi bagian dalam tanda kurung terlebih dahulu, yaitu:
dy/dx = d/dx[(sin 2x)-1]
Langkah 3: Kita kembangkan turunan tersebut menggunakan rumus turunan trigonometri dan rumus turunan fungsi invers, sehingga:
dy/dx = d/dx[(sin 2x)-1] = d/dx[-cos 2x/(sin 2x)2] = cos 2x.2(sin 2x)-1(-cos2x) = 2cos2x/(sin22x)
Langkah 4: Oleh karena itu, turunan dari y = cosec 2x dapat dinyatakan sebagai:
dy/dx = 2cos2x/(sin22x)
Dengan demikian, kita telah berhasil menghitung turunan dari y = cosec 2x dengan menggunakan rumus turunan trigonometri dan aturan rantai.
Demikianlah contoh soal turunan cosec x beserta dengan penjelasan rangkuman dan langkah-langkah untuk menyelesaikan perhitungan turunan tersebut. Semoga artikel ini dapat membantu Anda dalam belajar matematika khususnya dalam ketentuan dasar turunan trigonometri.
Penerapan Turunan Cosec x dalam Matematika
Turunan cosec x adalah salah satu turunan trigonometri yang sering digunakan dalam berbagai pembahasan matematika, khususnya dalam kalkulus. Turunan trigonometri merupakan salah satu jenis turunan yang perlu dipelajari dalam matematika, karena dapat membantu dalam menyelesaikan berbagai masalah yang berkaitan dengan trigonometri.
Pengertian Turunan Cosec x
Turunan cosec x merupakan turunan dari fungsi trigonometri cosec x. Cosec x adalah kebalikan dari sin x. Dalam pembahasan turunan trigonometri, turunan cosec x dapat dinyatakan sebagai:
dcsc x/dx = -cosec x cot x
Dari persamaan tersebut, dapat dilihat bahwa turunan cosec x memiliki hubungan langsung dengan cot x dan cosec x. Oleh karena itu, dalam pembahasan turunan cosec x, pengetahuan mengenai trigonometri dasar seperti sin, cos, tan, cot, dan cosec sangatlah penting.
Penerapan Turunan Cosec x
Turunan cosec x dapat diterapkan dalam banyak pembahasan matematika. Beberapa contoh penerapan turunan cosec x yang sering digunakan adalah sebagai berikut:
1. Pemeriksaan Keberadaan Asimtot Vertikal
Turunan cosec x dapat digunakan untuk memeriksa keberadaan asimtot vertikal pada suatu grafik fungsi trigonometri. Asimtot vertikal merupakan garis vertikal yang tak hingga yang dapat mendekati suatu titik pada grafik fungsi tanpa pernah menyentuh atau melalui titik tersebut. Jika turunan cosec x menghasilkan suatu nilai tak terhingga atau tidak terdefinisi ketika x mendekati suatu nilai tertentu, maka nilai tersebut dapat digunakan untuk menentukan keberadaan asimtot vertikal pada titik tersebut.
2. Penskalaan Grafik Fungsi Trigonometri
Turunan cosec x juga dapat digunakan untuk melakukan penskalaan pada grafik fungsi trigonometri. Penskalaan memiliki tujuan untuk mendapatkan gambaran yang lebih jelas dan mudah dimengerti mengenai grafik fungsi trigonometri. Dalam penskalaan grafik ini, turunan cosec x dapat digunakan untuk menentukan besarnya perubahan pada grafik fungsi trigonometri.
3. Penghitungan Integral Trigonometri
Turunan cosec x dapat pula digunakan dalam penghitungan integral trigonometri. Integral trigonometri adalah salah satu jenis integral yang melibatkan fungsi trigonometri. Penggunaan turunan cosec x dapat membantu dalam penghitungan integral trigonometri dengan menggunakan teknik substitusi.
4. Pembahasan Kurva pada Bidang Cartesius
Turunan cosec x dapat digunakan dalam pembahasan kurva pada bidang Cartesius. Kurva pada bidang Cartesius dapat dijelaskan dalam bentuk persamaan matematika yang melibatkan fungsi-fungsi matematis. Penggunaan turunan cosec x dalam pembahasan kurva dapat membantu dalam mendapatkan persamaan matematika yang tepat untuk kurva yang dibahas.
5. Pengolahan Data pada Teknik Fisika dan Teknik Elektro
Turunan cosec x dapat digunakan dalam pengolahan data pada teknik fisika dan teknik elektro. Pengolahan data pada bidang ini melibatkan penggunaan fungsi-fungsi matematis, termasuk trigonometri. Penggunaan turunan cosec x dalam pengolahan data dapat membantu dalam mendapatkan hasil yang akurat dan lebih mudah dipahami.
Kesimpulan
Turunan cosec x adalah salah satu turunan trigonometri yang sering digunakan dalam berbagai pembahasan matematika. Melalui penggunaan turunan cosec x, berbagai masalah yang berkaitan dengan trigonometri, seperti pembahasan kurva, integral trigonometri, dan pengolahan data pada teknik fisika dan teknik elektro bisa diselesaikan dengan lebih mudah dan akurat.
